Probabilidades en un torneo de tenis

**a) gane cada uno de ellos. (1 punto)** Primero definimos las probabilidades de que gane cada jugador como $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ y $P(D)$. Según el enunciado, establecemos las siguientes relaciones: 1. $P(A) = P(B)$ 2. $P(A) = 3 \cdot P(C) \implies P(C) = \dfrac{P(A)}{3}$ 3. $P(C) = P(D) \implies P(D) = \dfrac{P(A)}{3}$ Sabemos que, al ser eventos mutuamente excluyentes (solo un jugador puede ganar el torneo) y agotar todas las posibilidades, la suma de sus probabilidades debe ser igual a 1: $$P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1$$ Sustituimos todas las probabilidades en función de $P(A)$: $$P(A) + P(A) + \frac{P(A)}{3} + \frac{P(A)}{3} = 1$$ Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar denominadores: $$3P(A) + 3P(A) + P(A) + P(A) = 3$$ $$8P(A) = 3 \implies P(A) = \frac{3}{8}$$ 💡 **Tip:** En cualquier espacio muestral completo de sucesos disjuntos, la suma de las probabilidades siempre es la unidad: $\sum P(X_i) = 1$.

Una vez hallada $P(A)$, calculamos el resto de valores utilizando las relaciones del paso anterior: - Para $B$: $P(B) = P(A) = \dfrac{3}{8}$ - Para $C$: $P(C) = \dfrac{P(A)}{3} = \dfrac{3/8}{3} = \dfrac{1}{8}$ - Para $D$: $P(D) = P(C) = \dfrac{1}{8}$ Presentamos los resultados finales para el apartado a): ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = \frac{3}{8}; \quad P(B) = \frac{3}{8}; \quad P(C) = \frac{1}{8}; \quad P(D) = \frac{1}{8}}$$

**b) ganen $C$ o $D$. (0.5 puntos)** El suceso "gane $C$ o $D$" se representa como la unión de ambos sucesos: $P(C \cup D)$. Dado que los sucesos son incompatibles (no pueden ganar ambos a la vez), la probabilidad de la unión es la suma de sus probabilidades individuales: $$P(C \cup D) = P(C) + P(D)$$ Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente: $$P(C \cup D) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos $X$ e $Y$ son incompatibles, entonces $P(X \cap Y) = 0$, por lo que $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cup D) = \frac{1}{4} = 0.25}$$

**c) no gane $A$. (0.5 puntos)** El suceso "no gane $A$" es el suceso contrario o complementario de "gane $A$", denotado como $\bar{A}$. La probabilidad del suceso contrario se calcula restando a la unidad la probabilidad del suceso original: $$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$ Sustituimos el valor de $P(A)$ calculado en el apartado a): $$P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8 - 3}{8} = \frac{5}{8} = 0.625$$ Alternativamente, podríamos haber sumado las probabilidades de que ganen los otros tres jugadores: $$P(\bar{A}) = P(B) + P(C) + P(D) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que un suceso no ocurra es siempre $1$ menos la probabilidad de que sí ocurra. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}) = \frac{5}{8} = 0.625}$$