Cálculo de parámetros en una función polinómica

**a) Calcular los valores de $a, b$ y $c$ necesarios para que la función $f(x) = ax^3 - bx + c$ presente en el punto $(1, 2)$ un extremo local y además se cumpla que $\int_{0}^{1} f(x)dx = 1$.** Para determinar los parámetros $a, b$ y $c$, planteamos las tres condiciones dadas: 1. **El punto $(1, 2)$ pertenece a la gráfica:** Esto significa que $f(1) = 2$. $$f(1) = a(1)^3 - b(1) + c = a - b + c = 2$$ 2. **Tiene un extremo local en $x = 1$:** Si existe un extremo relativo, la derivada primera en ese punto debe ser cero, es decir, $f'(1) = 0$. Calculamos la derivada: $f'(x) = 3ax^2 - b$. $$f'(1) = 3a(1)^2 - b = 3a - b = 0 \implies b = 3a$$ 3. **La integral definida es igual a 1:** $$\int_{0}^{1} (ax^3 - bx + c) dx = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un "extremo local" en un punto implica que la función pasa por ese punto ($f(x_0)=y_0$) y que su pendiente allí es nula ($f'(x_0)=0$).

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$\int_{0}^{1} (ax^3 - bx + c) dx = \left[ \frac{ax^4}{4} - \frac{bx^2}{2} + cx \right]_{0}^{1} = 1$$ Sustituimos los límites de integración: $$\left( \frac{a(1)^4}{4} - \frac{b(1)^2}{2} + c(1) \right) - (0) = 1$$ $$\frac{a}{4} - \frac{b}{2} + c = 1$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por 4: $$a - 2b + 4c = 4$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1) $a - b + c = 2$ 2) $b = 3a$ 3) $a - 2b + 4c = 4$ Sustituimos $b = 3a$ en las ecuaciones (1) y (3): En (1): $a - 3a + c = 2 \implies -2a + c = 2 \implies c = 2 + 2a$ En (3): $a - 2(3a) + 4c = 4 \implies a - 6a + 4c = 4 \implies -5a + 4c = 4$ Ahora sustituimos $c = 2 + 2a$ en la ecuación resultante de (3): $$-5a + 4(2 + 2a) = 4$$ $$-5a + 8 + 8a = 4$$ $$3a = 4 - 8$$ $$3a = -4 \implies \mathbf{a = -\frac{4}{3}}$$ Calculamos $b$ y $c$: $$b = 3 \left( -\frac{4}{3} \right) \implies \mathbf{b = -4}$$ $$c = 2 + 2 \left( -\frac{4}{3} \right) = 2 - \frac{8}{3} = \frac{6-8}{3} \implies \mathbf{c = -\frac{2}{3}}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -\frac{4}{3}, \quad b = -4, \quad c = -\frac{2}{3}}$$

**b) ¿El extremo del apartado anterior es un máximo o un mínimo? ¿Por qué?** Para determinar si el extremo en $x = 1$ es un máximo o un mínimo, utilizaremos el criterio de la segunda derivada. Primero, escribimos la función con los valores hallados: $$f(x) = -\frac{4}{3}x^3 - (-4)x - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}x^3 + 4x - \frac{2}{3}$$ Calculamos la primera y segunda derivada: $$f'(x) = -4x^2 + 4$$ $$f''(x) = -8x$$ Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico $x = 1$: $$f''(1) = -8(1) = -8$$ Como $f''(1) \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 1$. También podemos ver el cambio de signo de $f'(x)$ alrededor de $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Como la función pasa de crecer a decrecer, se confirma el máximo. 💡 **Tip:** Si $f''(x_0) \lt 0$ es un máximo; si $f''(x_0) \gt 0$ es un mínimo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es un máximo local pues } f'(1)=0 \text{ y } f''(1) = -8 \lt 0}$$