Continuidad, derivabilidad y recta tangente de una función a trozos

**a) Hallar de forma razonada, los valores de $a$ y $b$ para los que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $x = 0$. (1,5 puntos)** Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + ax + b) = 0^2 + a(0) + b = b$ 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{2x} = e^0 = 1$ 3. $f(0) = 0^2 + a(0) + b = b$ Para que sea continua, imponemos que $b = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que primero sea continua en ese punto. $$\boxed{b = 1}$$

Una vez garantizada la continuidad ($b=1$), estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 0 \\ 2e^{2x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales en dicho punto deben existir y ser iguales: 1. Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x + a) = 2(0) + a = a$ 2. Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} 2e^{2x} = 2e^0 = 2$ Igualando ambas expresiones: $$a = 2$$ 💡 **Tip:** No hables de "empalme", sino de la existencia de límites laterales finitos e iguales para la derivada en el punto de salto entre ramas. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = 1}$$

**b) Hallar la recta tangente a la función en $x = 1$. (0,5 puntos)** El punto $x = 1$ pertenece al intervalo $x > 0$, por lo que trabajamos con la rama $f(x) = e^{2x}$. Necesitamos calcular el punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$ y la pendiente $m = f'(x_0)$: 1. Valor de la función en $x = 1$: $f(1) = e^{2(1)} = e^2$. 2. Valor de la derivada en $x = 1$: $f'(1) = 2e^{2(1)} = 2e^2$. La ecuación de la recta tangente viene dada por: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituyendo los valores: $$y - e^2 = 2e^2(x - 1)$$ $$y - e^2 = 2e^2x - 2e^2$$ $$y = 2e^2x - e^2$$ 💡 **Tip:** También puedes expresar el resultado como $y = e^2(2x - 1)$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{y = 2e^2x - e^2}$$