Estudio de extremos, monotonía e integración de una función racional

**a) [1 punto] Determinar sus extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, primero determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$(x+1)^2 = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Calculamos la derivada $f'(x)$ aplicando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)' \cdot (x+1)^2 - 2x \cdot [(x+1)^2]'}{((x+1)^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2(x+1)^2 - 2x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x+1)$: $$f'(x) = \frac{2(x+1) - 4x}{(x+1)^3} = \frac{2x + 2 - 4x}{(x+1)^3} = \frac{2 - 2x}{(x+1)^3}$$ 💡 **Tip:** Simplificar el factor común $(x+1)$ en el numerador y denominador antes de operar facilita mucho el estudio del signo posterior. $$\boxed{f'(x) = \frac{2(1-x)}{(x+1)^3}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 2(1-x) = 0 \implies x = 1$$ Ahora estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x=1$) y la discontinuidad del dominio ($x=-1$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\ \hline 2(1-x) & + & + & + & 0 & -\\ (x+1)^3 & - & 0 & + & + & +\\ \hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & -\\ \text{Monotonía} & \searrow & \nexists & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(-1, 1)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Crecimiento y Decrecimiento):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-1, 1) \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

A partir de la tabla de monotonía, observamos que en $x=1$ la función pasa de ser creciente a decreciente. Al ser continua en ese punto, existe un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada sustituyendo en la función original $f(x)$: $$f(1) = \frac{2(1)}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (Extremos relativos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(1, \frac{1}{2}\right)}$$

**b) [1 punto] Calcular $\int \frac{2x}{(x+1)^2} dx$.** Para resolver esta integral, podemos manipular el numerador para separar la fracción en dos términos más sencillos. Sumamos y restamos 2 en el numerador: $$\int \frac{2x}{(x+1)^2} dx = \int \frac{2x + 2 - 2}{(x+1)^2} dx = \int \left( \frac{2(x+1)}{(x+1)^2} - \frac{2}{(x+1)^2} \right) dx$$ Simplificamos la primera fracción: $$\int \frac{2}{x+1} dx - \int 2(x+1)^{-2} dx$$ 💡 **Tip:** También se podría resolver con el cambio de variable $t = x+1$, lo que daría $dt = dx$ y $x = t-1$. Resolvemos las integrales inmediatas: - $\int \frac{2}{x+1} dx = 2\ln|x+1|$ - $\int 2(x+1)^{-2} dx = 2 \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x+1}$ Uniendo ambos resultados: $$2\ln|x+1| - \left( -\frac{2}{x+1} \right) + C = 2\ln|x+1| + \frac{2}{x+1} + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \frac{2x}{(x+1)^2} dx = 2\ln|x+1| + \frac{2}{x+1} + C}$$