Límites trigonométricos y Teorema de Bolzano

**a) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg } x - \text{sen } x}{x \text{ sen } x}.$ (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg } x - \text{sen } x}{x \text{ sen } x} = \frac{\text{tg } 0 - \text{sen } 0}{0 \cdot \text{sen } 0} = \frac{0 - 0}{0 \cdot 0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, podemos intentar simplificar la expresión trigonométrica antes de aplicar la regla de L'Hôpital para facilitar los cálculos. 💡 **Tip:** Recordamos que $\text{tg } x = \frac{\text{sen } x}{\cos x}$. Siempre es recomendable simplificar expresiones trigonométricas si es posible para evitar derivadas complejas.

Operamos en el numerador para extraer un factor común: $$\text{tg } x - \text{sen } x = \frac{\text{sen } x}{\cos x} - \text{sen } x = \text{sen } x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) = \text{sen } x \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right)$$ Sustituimos esto en el límite original: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right)}{x \text{ sen } x} = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x (1 - \cos x)}{\cos x \cdot x \text{ sen } x}$$ Podemos simplificar $\text{sen } x$ en el numerador y el denominador (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \cos x}$$ Evaluamos de nuevo: $\frac{1 - \cos 0}{0 \cdot \cos 0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. Sigue siendo indeterminado, pero la expresión es ahora mucho más sencilla.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador por separado: 1. Derivada del numerador: $(1 - \cos x)' = 0 - (-\text{sen } x) = \text{sen } x$ 2. Derivada del denominador: $(x \cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\text{sen } x) = \cos x - x \text{ sen } x$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{\cos x - x \text{ sen } x}$$ Evaluamos sustituyendo $x = 0$: $$\frac{\text{sen } 0}{\cos 0 - 0 \cdot \text{sen } 0} = \frac{0}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0$$ 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0}$$

**b) Demostrar que la ecuación $x \cdot \text{sen } x = 1$ tiene alguna solución. (1 punto)** Para demostrar que existe una solución, definimos una función auxiliar igualando la ecuación a cero: $$f(x) = x \text{ sen } x - 1$$ Buscamos un valor de $x$ tal que $f(x) = 0$. Utilizaremos el **Teorema de Bolzano**, que requiere: 1. Que $f(x)$ sea **continua** en un intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Que la función tome valores de distinto signo en los extremos del intervalo, es decir, $f(a) \cdot f(b) < 0$. La función $f(x) = x \text{ sen } x - 1$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser suma y producto de funciones continuas (polinómica y trigonométrica). 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos una raíz, pero no nos dice cuántas hay ni cuáles son exactamente.

Probamos con valores sencillos para encontrar un cambio de signo: - Para $x = 0$: $$f(0) = 0 \cdot \text{sen } 0 - 1 = 0 - 1 = -1 < 0$$ - Para $x = \frac{\pi}{2}$: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \cdot \text{sen }\left(\frac{\pi}{2}\right) - 1 = \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 1,57 - 1 = 0,57 > 0$$ Como $f(x)$ es continua en $[0, \frac{\pi}{2}]$ y se cumple que $f(0) < 0$ y $f(\frac{\pi}{2}) > 0$, por el **Teorema de Bolzano** existe al menos un punto $c \in (0, \frac{\pi}{2})$ tal que $f(c) = 0$. Si $f(c) = 0$, entonces $c \text{ sen } c - 1 = 0 \implies c \text{ sen } c = 1$. Esto demuestra que la ecuación tiene, al menos, una solución real en el intervalo $(0, \pi/2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Queda demostrado por el Teorema de Bolzano en } [0, \pi/2]}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x \\sin(x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "target", "latex": "y = 1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "sol", "latex": "(1.114, 1)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "Solución" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 4, "bottom": -2, "top": 3 } } }