Perpendicularidad y paralelismo entre recta y plano

Para estudiar la posición relativa entre un plano y una recta, primero debemos identificar el vector normal del plano y el vector director de la recta. El vector normal al plano $\pi \equiv 3x + 3y + mz = 3$ se extrae directamente de los coeficientes de las variables: $$\vec{n}_\pi = (3, 3, m)$$ La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos, $\vec{n}_1 = (2, -1, 3)$ y $\vec{n}_2 = (1, -1, 0)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = (0 - (-3))\mathbf{i} - (0 - 3)\mathbf{j} + (-2 - (-1))\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (3, 3, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $(A, B, C)$.

**a) perpendiculares. (1 punto)** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto implica que sus coordenadas deben ser proporcionales: $$\frac{3}{3} = \frac{3}{3} = \frac{m}{-1}$$ De la igualdad $1 = \frac{m}{-1}$, despejamos $m$: $$m = -1$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{m = -1}$$

**b) paralelos. (1 punto)** Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. La condición de perpendicularidad entre vectores es que su producto escalar sea cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(3, 3, -1) \cdot (3, 3, m) = 0$$ $$3(3) + 3(3) + (-1)(m) = 0$$ $$9 + 9 - m = 0 \implies 18 - m = 0$$ $$m = 18$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar es cero, la recta puede ser paralela o estar contenida en el plano. Para asegurar que son paralelos, un punto de la recta no debe pertenecer al plano. Comprobamos si la recta está contenida para $m = 18$. Buscamos un punto $P$ de $r$ haciendo $y = 0$ en sus ecuaciones: $$x - 0 = 2 \implies x = 2$$ $$2(2) - 0 + 3z = 1 \implies 4 + 3z = 1 \implies 3z = -3 \implies z = -1$$ El punto es $P(2, 0, -1)$. Sustituimos en $\pi$ con $m=18$: $$3(2) + 3(0) + 18(-1) = 6 - 18 = -12 \neq 3$$ Como el punto no cumple la ecuación del plano, la recta es **estrictamente paralela**. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{m = 18}$$