Ecuaciones de la recta paralela a una intersección de planos

La recta $r$ viene definida como la intersección de dos planos. El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, será perpendicular a los vectores normales de ambos planos. Los vectores normales de los planos son los coeficientes de las variables $x, y, z$: * $\vec{n}_1 = (2, -1, 1)$ * $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ Calculamos su producto vectorial para obtener el vector director de la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por adjuntos de la primera fila: $$\vec{v}_r = \mathbf{i} \cdot [(-1) \cdot 2 - 1 \cdot (-1)] - \mathbf{j} \cdot [2 \cdot 2 - 1 \cdot 1] + \mathbf{k} \cdot [2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1]$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i} \cdot (-2 + 1) - \mathbf{j} \cdot (4 - 1) + \mathbf{k} \cdot (-2 + 1)$$ $$\vec{v}_r = (-1, -3, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre el producto vectorial de sus normales. Si los signos te resultan incómodos, puedes usar cualquier vector proporcional. En este caso, tomaremos **$\vec{v}_s = (1, 3, 1)$** para la recta $s$, ya que al ser paralelas comparten dirección. $$\boxed{\vec{v}_s = (1, 3, 1)}$$

Para definir la recta $s$, necesitamos un punto y un vector director. El enunciado nos da el punto $A(1, -2, 2)$ y hemos obtenido el vector $\vec{v}_s = (1, 3, 1)$. Las ecuaciones paramétricas se expresan como: $$\begin{cases} x = x_0 + \lambda v_1 \\ y = y_0 + \lambda v_2 \\ z = z_0 + \lambda v_3 \end{cases}$$ Sustituyendo el punto $A$ y el vector $\vec{v}_s$: $$s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\lambda$ es un parámetro real que permite obtener todos los puntos de la recta. ✅ **Resultado (Paramétricas):** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}}$$

La forma continua se obtiene despejando el parámetro $\lambda$ en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualando los resultados: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo nuestros datos: $$s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - (-2)}{3} = \frac{z - 2}{1}$$ Simplificando los signos y denominadores unitarios: $$s: x - 1 = \frac{y + 2}{3} = z - 2$$ ✅ **Resultado (Continua):** $$\boxed{x - 1 = \dfrac{y + 2}{3} = z - 2}$$

Para obtener las ecuaciones implícitas, tomamos dos de las igualdades de la forma continua y las operamos por separado: 1. **Primera igualdad** (usando $x$ y $z$ por ser la más sencilla): $$x - 1 = z - 2 \implies x - z + 1 = 0$$ 2. **Segunda igualdad** (usando $x$ e $y$): $$x - 1 = \frac{y + 2}{3}$$ Multiplicamos en cruz: $$3(x - 1) = y + 2 \implies 3x - 3 = y + 2 \implies 3x - y - 5 = 0$$ Uniendo ambas ecuaciones, obtenemos el sistema que define la recta: $$s: \begin{cases} 3x - y - 5 = 0 \\ x - z + 1 = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta tiene infinitas parejas de ecuaciones implícitas dependiendo de qué igualdades elijas de la forma continua. Estas son las más simplificadas. ✅ **Resultado (Implícitas):** $$\boxed{s: \begin{cases} 3x - y - 5 = 0 \\ x - z + 1 = 0 \end{cases}}$$