Invertibilidad, rango y ecuaciones matriciales

**a) ¿Para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa?** Una matriz cuadrada $A$ es invertible (tiene inversa) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$. Debido a la presencia de ceros, desarrollamos por la primera columna: $$|A| = \begin{vmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{vmatrix} = a \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 0 + 0$$ Resolvemos el determinante de orden 2 resultante: $$|A| = a \cdot [(-2) \cdot a - 0 \cdot 1] = a \cdot (-2a) = -2a^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que desarrollar por una fila o columna con muchos ceros facilita enormemente el cálculo del determinante. $$\boxed{|A| = -2a^2}$$

Para hallar los valores en los que la matriz no es invertible, igualamos el determinante a cero: $$-2a^2 = 0 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$$ Por lo tanto: - Si $a \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$ y existe $A^{-1}$. - Si $a = 0$, entonces $|A| = 0$ y no existe $A^{-1}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa para } a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) Estudiar el rango de la matriz según los valores de $a$.** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Analizamos los casos según el valor del determinante: **Caso 1: $a \neq 0$** Como hemos visto en el apartado anterior, si $a \neq 0$, el determinante de la matriz es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que las tres filas son linealmente independientes. Por tanto, el rango es máximo: $$\text{Si } a \neq 0 \implies \boxed{\text{rg}(A) = 3}$$

**Caso 2: $a = 0$** Sustituimos el valor $a = 0$ en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos las relaciones entre las filas: - La fila 1 ($F_1$) y la fila 2 ($F_2$) son idénticas: $F_1 = F_2 = (0, -2, 0)$. - La fila 3 ($F_3$) es proporcional a las anteriores: $F_3 = -\frac{1}{2}F_1$. Esto significa que solo hay una fila linealmente independiente. Como hay elementos distintos de cero (por ejemplo, el $-2$), el rango es 1. 💡 **Tip:** En una matriz donde todas las filas son proporcionales entre sí (y no todas son nulas), el rango siempre es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0 \implies \text{rg}(A) = 1}$$

**c) Hallar $a$ para que se cumpla $A^{-1} = \frac{1}{4}A$** Partimos de la condición dada. Para trabajar de forma más sencilla, multiplicamos ambos miembros por la matriz $A$ por la izquierda: $$A \cdot A^{-1} = A \cdot \left(\frac{1}{4}A\right)$$ Sabemos que $A \cdot A^{-1} = I$ (donde $I$ es la matriz identidad), por lo que: $$I = \frac{1}{4}A^2 \implies A^2 = 4I$$ Esta transformación es válida siempre que $a \neq 0$ (para que exista $A^{-1}$). 💡 **Tip:** Siempre es preferible eliminar las matrices inversas de una ecuación multiplicando por la matriz original para trabajar con potencias, que suelen ser más fáciles de calcular.

Calculamos la matriz $A^2$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - $c_{11} = a\cdot a + (-2)\cdot 0 + 0\cdot 0 = a^2$ - $c_{12} = a\cdot (-2) + (-2)\cdot (-2) + 0\cdot 1 = -2a + 4$ - $c_{13} = a\cdot 0 + (-2)\cdot 0 + 0\cdot a = 0$ - $c_{21} = 0\cdot a + (-2)\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0$ - $c_{22} = 0\cdot (-2) + (-2)\cdot (-2) + 0\cdot 1 = 4$ - $c_{23} = 0\cdot 0 + (-2)\cdot 0 + 0\cdot a = 0$ - $c_{31} = 0\cdot a + 1\cdot 0 + a\cdot 0 = 0$ - $c_{32} = 0\cdot (-2) + 1\cdot (-2) + a\cdot 1 = a - 2$ - $c_{33} = 0\cdot 0 + 1\cdot 0 + a\cdot a = a^2$ $$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 & -2a + 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & a - 2 & a^2 \end{pmatrix}$$

Igualamos $A^2$ con la matriz $4I$: $$\begin{pmatrix} a^2 & -2a + 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & a - 2 & a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Para que las matrices sean iguales, deben serlo todos sus elementos correspondientes. Obtenemos las siguientes ecuaciones: 1. $a^2 = 4 \implies a = \pm 2$ 2. $-2a + 4 = 0 \implies 2a = 4 \implies a = 2$ 3. $a - 2 = 0 \implies a = 2$ La única solución que satisface todas las ecuaciones simultáneamente es $a = 2$. Como $a = 2 \neq 0$, la matriz tiene inversa y la solución es válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2}$$