Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**a) Discutir el sistema según el valor del parámetro $a$. (1,2 puntos)** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ a+1 & 1 & -a \\ 1 & a+1 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & a \\ a+1 & 1 & -a & 0 \\ 1 & a+1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (3). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius indica que un sistema es compatible si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$.

Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ a+1 & 1 & -a \\ 1 & a+1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (a \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot (-a) \cdot 1) + (1 \cdot (a+1) \cdot (a+1)) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + ((-a) \cdot (a+1) \cdot a) + (0 \cdot (a+1) \cdot 1) ]$$ $$|A| = 0 - a + (a+1)^2 - [ 1 - a^2(a+1) + 0 ]$$ $$|A| = -a + a^2 + 2a + 1 - 1 + a^3 + a^2 = a^3 + 2a^2 + a$$ Factorizamos la expresión: $$|A| = a(a^2 + 2a + 1) = a(a+1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a(a+1)^2 = 0 \implies a = 0, \quad a = -1$$ $$\boxed{|A| = a(a+1)^2}$$

Si $a \neq 0$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$, por lo que $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (igual al número de incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, -1: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $a = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas, por lo que el determinante $|A^*|$ será 0 y el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como la última columna es de ceros (sistema homogéneo en este caso), $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es indeterminado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $a = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - (-1)) = 1 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1: \text{ Sistema Incompatible (SI)}}$$

**b) Resolver si $a = 0$. (0,8 puntos)** Para $a = 0$, el sistema original se convierte en: $$\begin{cases} y + z = 0 \\ x + y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$$ Como las dos últimas ecuaciones son iguales, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$$ Tomamos $y$ como parámetro, $y = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$: 1. De la segunda ecuación: $x = -y \implies x = -\lambda$. 2. De la primera ecuación: $z = -y \implies z = -\lambda$. 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, la solución depende de $3-2=1$ parámetro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Solución: } (x, y, z) = (-\lambda, \lambda, -\lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$