Probabilidad en distribución normal: Duración de partidas de ajedrez

**a) La probabilidad de que una determinada partida de ajedrez jugada en un torneo de maestros acabe en menos de dos horas. (1 punto)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el tiempo de duración de una partida en minutos: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(160, 30)$$ Donde $\mu = 160$ es la media y $\sigma = 30$ es la desviación típica. El apartado nos pide la probabilidad de que la partida dure menos de **dos horas**. Como nuestra variable está en minutos, debemos realizar la conversión: $$2 \text{ horas} = 2 \cdot 60 = 120 \text{ minutos}$$ Por tanto, buscamos calcular $P(X < 120)$. 💡 **Tip:** Es fundamental que todas las unidades de medida sean coherentes. Si la media está en minutos, el valor a comparar debe estar en minutos.

Para calcular probabilidades en una normal no estándar, realizamos el proceso de **tipificación** para pasar a una variable $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X < 120) = P\left( Z < \frac{120 - 160}{30} \right) = P\left( Z < \frac{-40}{30} \right) = P(Z < -1.33)$$ Debido a la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de un valor negativo es equivalente a la cola derecha del valor positivo: $$P(Z < -1.33) = P(Z > 1.33)$$ Y para poder usar la tabla de la normal estándar, transformamos a la probabilidad acumulada: $$P(Z > 1.33) = 1 - P(Z \le 1.33)$$ Buscamos en la tabla el valor para $1.33$: - $P(Z \le 1.33) \approx 0.9082$ Calculamos el resultado final: $$P(X < 120) = 1 - 0.9082 = 0.0918$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X < 120) = 0.0918}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z \le a)$ por simetría.

**b) El porcentaje de partidas de torneo entre maestros de ajedrez que duran más de tres horas y 50 minutos. (1 punto)** Primero, convertimos el tiempo indicado a minutos: $$3 \text{ horas y } 50 \text{ minutos} = (3 \cdot 60) + 50 = 180 + 50 = 230 \text{ minutos}$$ Se nos pide calcular la probabilidad de que $X$ sea mayor que 230 minutos para luego expresarlo como porcentaje: $$P(X > 230)$$ Tipificamos nuevamente la variable: $$P(X > 230) = P\left( Z > \frac{230 - 160}{30} \right) = P\left( Z > \frac{70}{30} \right) = P(Z > 2.33)$$ 💡 **Tip:** Para hallar el porcentaje, primero calculamos la probabilidad (en decimal entre 0 y 1) y al final multiplicamos por 100.

Para resolver $P(Z > 2.33)$, utilizamos el suceso complementario: $$P(Z > 2.33) = 1 - P(Z \le 2.33)$$ Buscamos el valor de $2.33$ en la tabla de la distribución normal estándar: - $P(Z \le 2.33) \approx 0.9901$ Calculamos la probabilidad: $$P(X > 230) = 1 - 0.9901 = 0.0099$$ Para obtener el **porcentaje**, multiplicamos por 100: $$\text{Porcentaje} = 0.0099 \cdot 100 = 0.99\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.99\%}$$