Probabilidad de tipos de vehículos y potencia

**a) Calcular la probabilidad de que un coche de esa marca elegido al azar sea convencional con potencia $\ge 140\text{ CV}$. Lo mismo para híbrido o eléctrico con potencia $\ge 140\text{ CV}$.** En primer lugar, definimos los sucesos según el enunciado: - $C$: El coche es convencional ($P(C) = 0.50$) - $H$: El coche es híbrido ($P(H) = 0.30$) - $E$: El coche es eléctrico ($P(E) = 0.20$) - $P_1$: El coche tiene potencia $\lt 140\text{ CV}$ - $P_2$: El coche tiene potencia $\ge 140\text{ CV}$ (es decir, al menos $140\text{ CV}$) A partir de los datos, calculamos las probabilidades complementarias para la potencia $\ge 140\text{ CV}$: - $P(P_2 | C) = 1 - 0.70 = 0.30$ - $P(P_2 | H) = 1 - 0.80 = 0.20$ - $P(P_2 | E) = 1 - 0.85 = 0.15$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Para calcular la probabilidad de que un coche sea convencional Y tenga potencia $\ge 140\text{ CV}$, utilizamos la probabilidad de la intersección: $$P(C \cap P_2) = P(C) \cdot P(P_2 | C)$$ Sustituyendo los valores: $$P(C \cap P_2) = 0.50 \cdot 0.30 = 0.15$$ ✅ **Resultado (Convencional y $\ge 140$ CV):** $$\boxed{P(C \cap P_2) = 0.15}$$

Nos piden la probabilidad de que el coche sea (híbrido O eléctrico) Y tenga potencia $\ge 140\text{ CV}$. Como ser híbrido y ser eléctrico son sucesos incompatibles (un coche no puede ser ambas cosas a la vez), calculamos la suma de las intersecciones: $$P((H \cup E) \cap P_2) = P(H \cap P_2) + P(E \cap P_2)$$ Calculamos cada término: - $P(H \cap P_2) = P(H) \cdot P(P_2 | H) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06$ - $P(E \cap P_2) = P(E) \cdot P(P_2 | E) = 0.20 \cdot 0.15 = 0.03$ Sumamos ambos resultados: $$P((H \cup E) \cap P_2) = 0.06 + 0.03 = 0.09$$ ✅ **Resultado (Híbrido o Eléctrico y $\ge 140$ CV):** $$\boxed{P((H \cup E) \cap P_2) = 0.09}$$

**b) Si se sabe que el coche elegido tiene al menos $140\text{ CV}$, ¿cuál es la probabilidad de que sea de tipo convencional?** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: $P(C | P_2)$. Para resolverlo, primero necesitamos la probabilidad total de que un coche tenga potencia $\ge 140\text{ CV}$, es decir, $P(P_2)$. Usamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(P_2) = P(C \cap P_2) + P(H \cap P_2) + P(E \cap P_2)$$ Ya hemos calculado estos valores en los pasos anteriores: $$P(P_2) = 0.15 + 0.06 + 0.03 = 0.24$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las rutas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, $P_2$).

Ahora aplicamos el **Teorema de Bayes** para hallar la probabilidad de que, sabiendo que el coche tiene potencia $\ge 140\text{ CV}$, este sea convencional: $$P(C | P_2) = \frac{P(C \cap P_2)}{P(P_2)}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(C | P_2) = \frac{0.15}{0.24}$$ Simplificamos la fracción: $$P(C | P_2) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} = 0.625$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada. En problemas de exámenes, suele ser el paso final tras calcular la probabilidad total. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(C | P_2) = 0.625}$$