Estudio de función y cálculo de integral racional

**a) Dada la función $f(x) = \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2}$, hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales. (1 punto)** Para hallar el dominio de $f(x)$, debemos tener en cuenta dos restricciones: 1. El argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo: $x \gt 0$. 2. El denominador no puede ser cero: $x^2 - 3x + 2 \neq 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos valores: $x_1 = 2$ y $x_2 = 1$. Combinando ambas restricciones ($x \gt 0$ y $x \neq 1, 2$), el dominio es: $$\text{Dom}(f) = (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)$$ 💡 **Tip:** El dominio de una función racional con logaritmos es la intersección de los dominios de cada parte. Recuerda que $\ln(x)$ solo existe para $x \gt 0$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}^+ \setminus \{1, 2\}}$$

Las posibles asíntotas verticales (AV) se encuentran en los extremos abiertos del dominio: $x=0$, $x=1$ y $x=2$. **En $x=0$ (por la derecha):** $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-\infty}{2} = -\infty$$ Por tanto, **$x=0$ es una asíntota vertical**. **En $x=1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 1} \frac{(\ln x)'}{(x^2 - 3x + 2)' = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{2x - 3} = \frac{1/1}{2(1) - 3} = \frac{1}{-1} = -1}$$ Como el límite es finito, **no hay asíntota vertical en $x=1$** (es una discontinuidad evitable). **En $x=2$:** $$\lim_{x \to 2} \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2} = \left[ \frac{\ln 2}{0} \right] = \infty$$ Por tanto, **$x=2$ es una asíntota vertical**. 💡 **Tip:** Para que exista una AV, el límite de la función en ese punto debe ser infinito ($\pm\infty$). Si el límite es un número real, la función tiene un "hueco" pero no una asíntota. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = 0 \text{ y } x = 2}$$

Para hallar la asíntota horizontal (AH), calculamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Podemos aplicar la regla de L'Hôpital o comparar órdenes de infinitud (un polinomio crece mucho más rápido que un logaritmo): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{2x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x(2x - 3)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2 - 3x} = 0$$ Al ser el límite 0, existe una asíntota horizontal en el eje $X$. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) Calcular $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 2} dx$. (1 punto)** Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Descomponemos el denominador en factores (ya calculado en el apartado anterior): $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Descomponemos en fracciones simples: $$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$$ Para hallar $A$ y $B$, multiplicamos por el denominador común: $$1 = A(x - 2) + B(x - 1)$$ - Si $x = 1 \implies 1 = A(1 - 2) \implies 1 = -A \implies A = -1$. - Si $x = 2 \implies 1 = B(2 - 1) \implies 1 = B \implies B = 1$. 💡 **Tip:** Para integrales racionales con raíces reales distintas, usa siempre la descomposición en fracciones simples para obtener integrales tipo logaritmo neperiano.

Sustituimos los valores de $A$ y $B$ en la integral: $$\int \frac{1}{x^2 - 3x + 2} dx = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} \right) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral: $$= -\int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{1}{x-2} dx$$ Ambas son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$= -\ln|x-1| + \ln|x-2| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$): $$= \ln \left| \frac{x-2}{x-1} \right| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\ln \left| \frac{x-2}{x-1} \right| + C}$$