Cálculo de parámetros en una función cúbica

Para resolver este ejercicio debemos traducir las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas. La función dada es $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Las condiciones son: 1. **Extremos relativos en $x=0$ y $x=2$**: En los extremos relativos de una función derivable, su primera derivada se anula. Por tanto, se debe cumplir: $$f'(0) = 0 \quad \text{y} \quad f'(2) = 0$$ 2. **Corte con el eje de abscisas en $x=1$**: Esto significa que la gráfica pasa por el punto $(1, 0)$, es decir: $$f(1) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función $f(x)$ tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en $x=x_0$ y es derivable en dicho punto, entonces obligatoriamente $f'(x_0)=0$.

Primero, hallamos la expresión de la derivada general de $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ Aplicamos la condición del extremo en $x=0$: $$f'(0) = 3(0)^2 + 2a(0) + b = 0$$ $$0 + 0 + b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$$ ✅ **Valor obtenido:** $$\boxed{b = 0}$$

Utilizamos la condición del extremo en $x=2$. Sabiendo ya que $b=0$, la derivada es $f'(x) = 3x^2 + 2ax$: $$f'(2) = 3(2)^2 + 2a(2) = 0$$ $$3(4) + 4a = 0$$ $$12 + 4a = 0$$ $$4a = -12 \implies a = -\frac{12}{4} = -3$$ ✅ **Valor obtenido:** $$\boxed{a = -3}$$

Finalmente, utilizamos la condición de que la función corta al eje $X$ en $x=1$, es decir, $f(1)=0$. Sustituimos $a = -3$, $b = 0$ y $x = 1$ en la función original: $$f(1) = (1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 0$$ $$1 + (-3)(1) + 0(1) + c = 0$$ $$1 - 3 + c = 0$$ $$-2 + c = 0 \implies \mathbf{c = 2}$$ 💡 **Tip:** Los cortes con el eje de abscisas (eje OX) son las raíces de la función, por lo que igualamos $y=0$ para el valor de $x$ dado.

Los valores calculados son **$a = -3$**, **$b = 0$** y **$c = 2$**. La función resultante es: $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$ **Comprobación rápida:** - $f'(x) = 3x^2 - 6x$. Si $x=0, f'(0)=0$. Si $x=2, f'(2)=3(4)-6(2)=0$. (Correcto) - $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 0, \quad c = 2}$$ Representamos la función para visualizar los extremos y el punto de corte: