Continuidad de una función con parámetros

Para que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$, primero observamos que para cualquier $x \neq 0$, la función $f(x) = \frac{\cos x - a}{bx^2}$ es continua por ser un cociente de funciones continuas (trigonométrica y polinómica) donde el denominador $bx^2$ solo se anula en $x=0$. Por tanto, el único punto donde debemos estudiar la continuidad es en $x = 0$. La condición de continuidad en un punto establece que: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$ Del enunciado sabemos que **$f(0) = 1$**. Por tanto, debemos encontrar $a$ y $b$ tales que: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - a}{bx^2} = 1$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=c$ si existe el límite, existe la imagen y ambos coinciden.

Analizamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - a}{bx^2}$$ Al sustituir $x = 0$ en el denominador, obtenemos $b \cdot 0^2 = 0$. Para que el límite sea un valor finito (en este caso, igual a 1), el numerador también debe tender a 0 cuando $x \to 0$. Si el numerador tendiera a un número distinto de cero, el límite sería infinito. Calculamos el límite del numerador: $$\lim_{x \to 0} (\cos x - a) = \cos(0) - a = 1 - a$$ Para evitar que el límite sea infinito, imponemos la condición: $$1 - a = 0 \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** En límites del tipo $\frac{k}{0}$ con $k \neq 0$, el resultado es $\pm\infty$. Para tener una solución finita, necesitamos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. $$\boxed{a = 1}$$

Con $a = 1$, el límite presenta la indeterminación $\left[ \frac{0}{0} \right]$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{bx^2}$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)'}{(bx^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2bx}$$ Al evaluar de nuevo en $x=0$, obtenemos otra vez la indeterminación $\left[ \frac{0}{0} \right]$ ya que $\sin(0)=0$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{(-\sin x)'}{(2bx)'} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2b}$$ Ahora evaluamos el límite final: $$\frac{-\cos(0)}{2b} = \frac{-1}{2b}$$ 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital nos dice que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si se cumplen las condiciones de derivabilidad e indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Para que la función sea continua, el valor del límite obtenido debe ser igual a $f(0)$: $$\frac{-1}{2b} = 1$$ Despejamos $b$: $$-1 = 2b \implies \mathbf{b = -\frac{1}{2}}$$ Como el enunciado indicaba que $b \in \mathbb{R} - \{0\}$, el valor obtenido es válido. **Conclusión:** Los valores de los parámetros para que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$ son: $$\boxed{a = 1, \quad b = -\frac{1}{2}}$$