Teorema de Bolzano y unicidad de raíces

Para demostrar que $f(x)$ se anula para algún valor de $x$ (es decir, que existe al menos una raíz), utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. Primero, analizamos la continuidad de la función: $$f(x) = e^x + x^3 - 2$$ $f(x)$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$, ya que es la suma de una función exponencial ($e^x$) y una función polinómica ($x^3 - 2$), ambas continuas en su dominio. Ahora, buscamos un intervalo $[a, b]$ donde la función cambie de signo: - Para $x = 0$: $f(0) = e^0 + 0^3 - 2 = 1 - 2 = -1 \lt 0$. - Para $x = 1$: $f(1) = e^1 + 1^3 - 2 = e - 1 \approx 2,718 - 1 = 1,718 \gt 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano dice que si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y el signo de $f(a)$ es distinto al de $f(b)$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. Como $f(x)$ es continua en $[0, 1]$ y $f(0) \cdot f(1) \lt 0$, por el Teorema de Bolzano podemos asegurar que: $$\exists c \in (0, 1) \text{ tal que } \boxed{f(c) = 0}$$ Esto demuestra que la función se anula para al menos un valor de $x$.

Para demostrar que ese valor $c$ es único, estudiaremos la monotonía de la función a través de su derivada primera. Calculamos $f'(x)$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x^3 - 2) = e^x + 3x^2$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: - Sabemos que $e^x \gt 0$ para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$. - Sabemos que $3x^2 \ge 0$ para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, la suma $e^x + 3x^2$ siempre será estrictamente positiva: $$f'(x) \gt 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ Si la derivada de una función es siempre positiva, la función es **estrictamente creciente** en todo su dominio. 💡 **Tip:** Una función que es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece) solo puede cortar al eje de abscisas (eje $X$) en un único punto. Como $f(x)$ es estrictamente creciente, no puede volver a tomar el valor $0$ después de haberlo tomado una vez. Por tanto, el valor $c$ cuya existencia demostramos en el paso anterior es **único**. $$\boxed{\text{La raíz es única porque } f'(x) \gt 0 \text{ en todo } \mathbb{R}}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de la función $f(x) = e^x + x^3 - 2$, donde se observa claramente el corte con el eje $X$ en el intervalo $(0, 1)$ y su crecimiento constante.