Plano determinado por dos puntos y paralelo a una recta

Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto perteneciente al mismo y dos vectores directores que sean linealmente independientes (no paralelos entre sí). En este ejercicio el enunciado nos proporciona: 1. Dos puntos: $P(1, 1, 2)$ y $Q(3, -1, 1)$. Al estar en el plano, el vector que los une, $\vec{PQ}$, será un vector contenido en el plano (vector director). 2. Una condición de paralelismo: El plano es paralelo a la recta $r$. Por tanto, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, será también un vector director del plano. 💡 **Tip:** Un plano queda unívocamente determinado por un punto $A$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no paralelos, o bien por un punto $A$ y un vector normal $\vec{n}$ perpendicular al plano.

Primero, calculamos el vector $\vec{PQ}$ a partir de las coordenadas de los puntos: $$\vec{PQ} = Q - P = (3 - 1, -1 - 1, 1 - 2) = (2, -2, -1)$$ Segundo, obtenemos el vector director de la recta $r$. La recta viene dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0} \text{ (incorrecto)} \implies \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$$ Como la expresión es $x - 1 = y = z$, los denominadores implícitos son $1$: $$\vec{v}_r = (1, 1, 1)$$ Comprobamos que no son paralelos. Para que lo fueran, sus coordenadas deberían ser proporcionales: $$\frac{2}{1} \neq \frac{-2}{1}$$ Como no son proporcionales, son linealmente independientes y sirven para definir el plano. $$\boxed{\vec{u} = (2, -2, -1), \quad \vec{v} = (1, 1, 1)}$$

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores. Calculamos $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{v}_r$ utilizando el determinante: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \cdot (-2 \cdot 1) + \vec{j} \cdot (-1 \cdot 1) + \vec{k} \cdot (2 \cdot 1) - [\vec{k} \cdot (-2 \cdot 1) + \vec{i} \cdot (-1 \cdot 1) + \vec{j} \cdot (2 \cdot 1)]$$ $$\vec{n} = (-2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) - (-2\vec{k} - \vec{i} + 2\vec{j})$$ $$\vec{n} = -2\vec{i} + \vec{i} - \vec{j} - 2\vec{j} + 2\vec{k} + 2\vec{k} = -1\vec{i} - 3\vec{j} + 4\vec{k}$$ Obtenemos el vector normal: $$\vec{n} = (-1, -3, 4)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos vectores simultáneamente.

La ecuación general de un plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal $\vec{n}$. Sustituimos el vector $\vec{n} = (-1, -3, 4)$: $$-1x - 3y + 4z + D = 0 \implies -x - 3y + 4z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $P(1, 1, 2)$ en la ecuación: $$-(1) - 3(1) + 4(2) + D = 0$$ $$-1 - 3 + 8 + D = 0$$ $$4 + D = 0 \implies D = -4$$ Sustituyendo $D$, la ecuación resulta: $$-x - 3y + 4z - 4 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$x + 3y - 4z + 4 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x + 3y - 4z + 4 = 0}$$