Posición relativa y construcción de recta perpendicular

**a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$. (1 punto)** Primero, extraemos los elementos característicos de la recta $r$ y del plano $\pi$ a partir de sus ecuaciones: - La recta $r$ viene dada en su forma continua implícita $x = y = z$. Esto equivale a $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-0}{1}$. Su vector director es $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ y un punto de la recta es $Q = (0, 0, 0)$. - El plano $\pi$ tiene la ecuación general $x + 2y - 3z = 0$. Su vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 2, -3)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Para conocer la posición relativa, calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, 1, 1) \cdot (1, 2, -3) = 1(1) + 1(2) + 1(-3) = 1 + 2 - 3 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, los vectores son perpendiculares ($\vec{v}_r \perp \vec{n}_\pi$). Esto implica que la recta $r$ es paralela al plano o bien está contenida en él. 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director de la recta y el normal del plano es cero, la recta no corta al plano en un único punto.

Para distinguir entre paralelismo y contención, comprobamos si el punto $Q(0, 0, 0)$ de la recta pertenece al plano $\pi$ sustituyéndolo en su ecuación: $$0 + 2(0) - 3(0) = 0$$ Como $0 = 0$, el punto $Q$ satisface la ecuación del plano. Si un punto de una recta paralela al plano pertenece a dicho plano, toda la recta está contenida en él. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ está contenida en el plano } \pi \text{ (} r \subset \pi \text{)}}$$

**b) Hallar la recta perpendicular a $r$ y contenida en $\pi$ que pasa por $P$. (1 punto)** Sea $s$ la recta buscada. Debe cumplir tres condiciones: 1. Pasa por $P(1, 1, 1)$. 2. Es perpendicular a $r$ (su vector director $\vec{v}_s \perp \vec{v}_r$). 3. Está contenida en $\pi$ (su vector director $\vec{v}_s \perp \vec{n}_\pi$ y su punto $P \in \pi$). Primero verificamos que $P(1, 1, 1)$ es un punto válido: - En $r$: $1 = 1 = 1$ (Pertenece). - En $\pi$: $1 + 2(1) - 3(1) = 1 + 2 - 3 = 0$ (Pertenece). 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, su vector director debe ser perpendicular al vector normal del plano.

Como el vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{v}_r$ y a $\vec{n}_\pi$, podemos obtenerlo mediante su producto vectorial: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante paso a paso por Sarrus: $$\vec{v}_s = \mathbf{i}(2)(1) + \mathbf{j}(-3)(1) + \mathbf{k}(1)(1) - [\mathbf{k}(2)(1) + \mathbf{i}(-3)(1) + \mathbf{j}(1)(1)]$$ $$\vec{v}_s = (2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}) - (2\mathbf{k} - 3\mathbf{i} + \mathbf{j})$$ $$\vec{v}_s = (2 - (-3))\mathbf{i} + (-3 - 1)\mathbf{j} + (1 - 2)\mathbf{k} = 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - \mathbf{k}$$ Por tanto, el vector director es $\vec{v}_s = (5, -4, -1)$.

Con el punto $P(1, 1, 1)$ y el vector director $\vec{v}_s = (5, -4, -1)$, escribimos la ecuación de la recta $s$ en forma continua: $$s \equiv \frac{x - x_P}{v_{sx}} = \frac{y - y_P}{v_{sy}} = \frac{z - z_P}{v_{sz}}$$ $$s \equiv \frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z - 1}{-1}$$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z - 1}{-1}}$$