Resolución de una ecuación matricial

Para resolver la ecuación $AB + CX = D$, primero calculamos el producto $A \cdot B$. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 3$ y la matriz $B$ es de dimensión $3 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot (-1) & 1\cdot 2 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 \\ 1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot (-1) & 1\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \end{pmatrix}$$ Operamos los elementos: $$AB = \begin{pmatrix} 0 + 0 - 1 & 2 + 0 + 1 \\ 0 + 1 + 0 & 2 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda. $$\mathbf{AB = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Partimos de la ecuación original $AB + CX = D$. El objetivo es aislar $X$: 1. Restamos el producto $AB$ en ambos miembros: $$CX = D - AB$$ 2. Calculamos la matriz resultante $D - AB$: $$D - AB = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) & 3 - 3 \\ 1 - 1 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que **$D - AB = I$**, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. 3. La ecuación queda como $CX = I$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $C$ (si existe): $$C^{-1}(CX) = C^{-1}I \implies (C^{-1}C)X = C^{-1} \implies IX = C^{-1} \implies X = C^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los factores importa. Como $C$ multiplica a $X$ por la izquierda, debemos multiplicar por $C^{-1}$ también por la izquierda en ambos lados.

Para hallar $C^{-1}$ de la matriz $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, primero calculamos su determinante: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1) - (-1\cdot 0) = 1 - 0 = 1$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz **$C$ es invertible**. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: - $C_{11} = (-1)^{1+1}(1) = 1$ - $C_{12} = (-1)^{1+2}(0) = 0$ - $C_{21} = (-1)^{2+1}(-1) = 1$ - $C_{22} = (-1)^{2+2}(1) = 1$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ La inversa se obtiene como $C^{-1} = \frac{1}{|C|} [\text{Adj}(C)]^T$: $$C^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo de la secundaria y dividir por el determinante.

Dado que en el paso 2 determinamos que $X = C^{-1}$, simplemente asignamos el valor calculado de la inversa: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Podemos comprobar que se cumple la ecuación sustituyendo en $CX = I$: $$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0 & 1-1 \\ 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$