Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el siguiente sistema:** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & \lambda & 1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, primero calcularemos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si $|A| \neq 0$ en una matriz $3 \times 3$, entonces $rg(A) = 3$.

Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda \cdot 1 \cdot \lambda) + (1 \cdot 2 \cdot 0) + (-1 \cdot (-1) \cdot 2) - [0 \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot \lambda + \lambda \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$|A| = \lambda^2 + 0 + 2 - [0 + 4\lambda - \lambda] = \lambda^2 + 2 - 3\lambda = \lambda^2 - 3\lambda + 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Los valores obtenidos son **$\lambda = 1$** y **$\lambda = 2$**. $$\boxed{|A| = 0 \iff \lambda = 1, \lambda = 2}$$

Si $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $rg(A) = 3$ - $rg(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $rg(A)$) - $n = 3$ (número de incógnitas) Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $rg(A) = rg(A^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Si **$\lambda = 1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 0 - 2) - (0 + 0 - 1) = -1 + 1 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos (podemos observar que la fila 3 es la suma de la fila 1 y la fila 2), tenemos que $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 1 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Si **$\lambda = 2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ tomando el menor con la columna de términos independientes (columnas 1, 2 y 4): $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 + 0 - 2) - (0 + 0 - 1) = 0 + 1 = 1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $rg(A^*) = 3$. Al ser $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 2 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

**b) Resolverlo para $\lambda = 1$.** Hemos visto que para $\lambda = 1$ el sistema es Compatible Indeterminado con $rg(A) = 2$. Usamos las dos primeras ecuaciones y pasamos una variable como parámetro (por ejemplo $z = \alpha$): $\begin{cases} x + y = 1 + \alpha \\ -x + y = -2\alpha \end{cases}$ Sumamos ambas ecuaciones: $$2y = 1 - \alpha \implies y = \frac{1 - \alpha}{2}$$ Sustituimos en la primera para hallar $x$: $$x = 1 + \alpha - y = 1 + \alpha - \frac{1 - \alpha}{2} = \frac{2 + 2\alpha - 1 + \alpha}{2} = \frac{1 + 3\alpha}{2}$$ La solución depende del parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - rg(A)$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{1 + 3\alpha}{2}, \frac{1 - \alpha}{2}, \alpha \right) \text{ con } \alpha \in \mathbb{R}}$$