Distribución Normal: Tiempo de uso del móvil

**a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el tiempo de uso diario del móvil en minutos. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(160, 30)$$ Donde: - Media $\mu = 160$ minutos. - Desviación típica $\sigma = 30$ minutos. En este apartado, nos piden calcular la probabilidad de que el uso sea menor de dos horas. Debemos trabajar en las mismas unidades (minutos), por lo que: $$2\text{ horas} = 2 \cdot 60 = 120\text{ minutos}$$ Buscamos calcular $P(X \lt 120)$.

Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar, debemos realizar el proceso de **tipificación**. Esto consiste en transformar nuestra variable $X$ en una variable $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores para $X = 120$: $$Z = \frac{120 - 160}{30} = \frac{-40}{30} = -\frac{4}{3} \approx -1,33$$ Por tanto: $$P(X \lt 120) = P(Z \lt -1,33)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite utilizar las tablas de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ para hallar cualquier probabilidad.

Como la tabla de la normal estándar solo ofrece valores positivos y para áreas acumuladas por la izquierda, aplicamos las propiedades de simetría: $$P(Z \lt -1,33) = P(Z \gt 1,33) = 1 - P(Z \le 1,33)$$ Buscamos el valor $1,33$ en la tabla de la $N(0, 1)$: - Intersección de la fila $1,3$ y la columna $0,03$: $P(Z \le 1,33) = 0,9082$. Calculamos el resultado final: $$P(X \lt 120) = 1 - 0,9082 = 0,0918$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 120) = 0,0918}$$

**b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos.** Primero convertimos el tiempo a minutos: $$3\text{ horas y } 50\text{ minutos} = (3 \cdot 60) + 50 = 180 + 50 = 230\text{ minutos}$$ Se nos pide el porcentaje de habitantes, lo cual es equivalente a calcular la probabilidad de que un habitante elegido al azar cumpla la condición y multiplicar por 100: $$P(X \gt 230)$$

Tipificamos el valor $X = 230$: $$Z = \frac{230 - 160}{30} = \frac{70}{30} = \frac{7}{3} \approx 2,33$$ Calculamos la probabilidad: $$P(X \gt 230) = P(Z \gt 2,33)$$ Usando la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 2,33) = 1 - P(Z \le 2,33)$$ Buscamos $2,33$ en la tabla de la $N(0, 1)$: - Intersección de la fila $2,3$ y la columna $0,03$: $P(Z \le 2,33) = 0,9901$. $$P(X \gt 230) = 1 - 0,9901 = 0,0099$$ Para obtener el porcentaje: $$\text{Porcentaje} = 0,0099 \cdot 100 = 0,99\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \gt a) = 1 - P(Z \le a)$. El área total bajo la campana de Gauss siempre es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,99\%}$$