Probabilidad total y Teorema de Bayes en un taller

**a) Indica las probabilidades simples y condicionadas que se deducen del enunciado.** Primero, definimos los sucesos principales para organizar la información: - $C$: El vehículo es un coche. - $M$: El vehículo es una motocicleta. - $F$: El vehículo es una furgoneta. - $R$: El vehículo requiere reparación. Del enunciado extraemos las **probabilidades a priori (simples)**: - $P(C) = 48\% = 0,48$ - $P(M) = 28\% = 0,28$ - $P(F) = 24\% = 0,24$ Y las **probabilidades condicionadas** (probabilidad de reparación según el tipo): - $P(R | C) = \dfrac{3}{4} = 0,75$ - $P(R | M) = \dfrac{1}{2} = 0,50$ - $P(R | F) = \dfrac{1}{3} \approx 0,333$ Podemos representar esta información en un árbol de probabilidades:

**b) Calcula la probabilidad de que un vehículo sea furgoneta y requiera reparación, la probabilidad de que un vehículo requiera reparación y la probabilidad de que, sabiendo que requiere reparación, sea un coche.** Para calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos simultáneamente (ser furgoneta y requerir reparación), usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(R \cap F) = P(F) \cdot P(R | F)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(R \cap F) = 0,24 \cdot \frac{1}{3} = 0,08$$ 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de una intersección se obtiene multiplicando las probabilidades a lo largo de la rama correspondiente. $$\boxed{P(R \cap F) = 0,08}$$

Para hallar la probabilidad total de que un vehículo requiera reparación, $P(R)$, debemos sumar las probabilidades de requerir reparación para cada tipo de vehículo (sistema completo de sucesos): $$P(R) = P(C) \cdot P(R | C) + P(M) \cdot P(R | M) + P(F) \cdot P(R | F)$$ Calculamos cada término: - Coches: $0,48 \cdot 0,75 = 0,36$ - Motos: $0,28 \cdot 0,50 = 0,14$ - Furgonetas: $0,24 \cdot \frac{1}{3} = 0,08$ Sumamos los resultados: $$P(R) = 0,36 + 0,14 + 0,08 = 0,58$$ $$\boxed{P(R) = 0,58}$$

Calculamos ahora la probabilidad de que sea un coche sabiendo que ha necesitado reparación, $P(C | R)$, mediante el **Teorema de Bayes**: $$P(C | R) = \frac{P(C \cap R)}{P(R)} = \frac{P(C) \cdot P(R | C)}{P(R)}$$ Utilizamos los valores obtenidos anteriormente: $$P(C | R) = \frac{0,36}{0,58}$$ Simplificamos la fracción: $$P(C | R) = \frac{36}{58} = \frac{18}{29} \approx 0,6207$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad: pasar de conocer $P(R|C)$ a calcular $P(C|R)$. $$\boxed{P(C | R) \approx 0,6207}$$

**c) ¿Son independientes los sucesos 'ser coche' y 'requerir reparación'?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si el hecho de que ocurra uno no altera la probabilidad del otro, es decir, si $P(B | A) = P(B)$. En este caso, comprobamos si: $$P(R | C) = P(R)$$ Valores comparados: - $P(R | C) = 0,75$ - $P(R) = 0,58$ Como $0,75 \neq 0,58$, entonces **$P(R | C) \neq P(R)$**. Por tanto, los sucesos **no son independientes** (son sucesos dependientes). Esto significa que saber que el vehículo es un coche aumenta la probabilidad de que necesite reparación (de un $58\%$ general a un $75\%$ específico para coches). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } C \text{ y } R \text{ son dependientes}}$$