Límites con L'Hôpital e Integración por Partes

**a) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x(e^x - 1)}{\cos(x) - 1}$ (1 punto)** Primero evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ en la expresión: $$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^x - 1)}{\cos(x) - 1} = \frac{0(e^0 - 1)}{\cos(0) - 1} = \frac{0(1-1)}{1-1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones son derivables en el entorno del punto.

Derivamos el numerador $f(x) = x(e^x - 1)$ usando la regla del producto: $$f'(x) = 1 \cdot (e^x - 1) + x \cdot e^x = e^x - 1 + xe^x$$ Derivamos el denominador $g(x) = \cos(x) - 1$: $$g'(x) = -\sin(x)$$ Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 + xe^x}{-\sin(x)} = \frac{e^0 - 1 + 0 \cdot e^0}{-\sin(0)} = \frac{1-1+0}{0} = \frac{0}{0}$$ Como volvemos a obtener la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicaremos la Regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo el numerador $f'(x) = e^x - 1 + xe^x$: $$f''(x) = e^x + (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) = 2e^x + xe^x$$ Derivamos el denominador $g'(x) = -\sin(x)$: $$g''(x) = -\cos(x)$$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x\to 0} \frac{2e^x + xe^x}{-\cos(x)} = \frac{2e^0 + 0 \cdot e^0}{-\cos(0)} = \frac{2(1)}{-1} = -2$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{-2}$$

**b) $\displaystyle \int_0^2 e^{-x}(x - 1) \, dx.$ (1 punto)** Para resolver esta integral, primero hallaremos la primitiva mediante el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = x - 1 \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} dx \implies v = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int (x-1)e^{-x} dx = (x-1)(-e^{-x}) - \int -e^{-x} dx$$ $$\int (x-1)e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} + \int e^{-x} dx$$ $$\int (x-1)e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C$$ Simplificamos la expresión factorizando $-e^{-x}$: $$F(x) = -e^{-x}(x - 1 + 1) = -xe^{-x}$$ 💡 **Tip:** El método de integración por partes es ideal cuando tenemos el producto de un polinomio por una exponencial. ¡No olvides el signo negativo al integrar $e^{-x}$!

Una vez hallada la primitiva $F(x) = -xe^{-x}$, aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 2]$: $$\int_0^2 e^{-x}(x - 1) \, dx = \left[ -xe^{-x} \right]_0^2$$ Calculamos los valores en los extremos: - Para $x=2$: $F(2) = -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2}$ - Para $x=0$: $F(0) = -0 \cdot e^0 = 0$ Restamos los valores: $$\int_0^2 e^{-x}(x - 1) \, dx = -\frac{2}{e^2} - 0 = -\frac{2}{e^2}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{-\dfrac{2}{e^2}}$$ En el siguiente gráfico se puede observar la función y el área neta calculada bajo la curva (que es negativa por el peso de la región bajo el eje X):