Estudio y representación de la función trascendente f(x) = e^x / x

Para determinar el dominio de la función $f(x) = e^x x^{-1} = \dfrac{e^x}{x}$, debemos identificar los valores de $x$ para los cuales la función no está definida. La función exponencial $e^x$ está definida para todo número real. Sin embargo, al tener la variable $x$ en el denominador, este no puede ser igual a cero: $$x = 0 \implies \text{f(x) no existe}$$ Por tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales excepto el cero. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional o con potencias negativas se encuentra excluyendo los valores que anulan el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos de discontinuidad del dominio. Estudiamos el límite cuando $x$ tiende a $0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x}$$ Analizamos los límites laterales: - Por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x}{x} = \dfrac{e^0}{0^-} = \dfrac{1}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^x}{x} = \dfrac{e^0}{0^+} = \dfrac{1}{0^+} = +\infty$ Al ser los límites infinitos, existe una asíntota vertical en $x=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: } x = 0}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites en el infinito ($+\infty$ y $-\infty$): **1. En $+\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(e^x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. **2. En $-\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{e^{-\infty}}{-\infty} = \frac{0}{-\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el límite es una constante $L$, entonces $y=L$ es la asíntota horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.H.: } y = 0 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$e^x(x - 1) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ (Puesto que $e^x \neq 0$ siempre). Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ y $(1, +\infty)$. Notemos que $x^2$ y $e^x$ siempre son positivos, por lo que el signo depende solo de $(x-1)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - **Decrecimiento:** $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$ - **Crecimiento:** $x \in (1, +\infty)$ Calculamos la ordenada del extremo relativo en $x=1$: $$f(1) = \frac{e^1}{1} = e \approx 2.718$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, e)}$$

Reuniendo toda la información: 1. El dominio excluye $x=0$. 2. Hay una **asíntota vertical** en $x=0$. Por la izquierda baja a $-\infty$ y por la derecha sube desde $+\infty$. 3. Hay una **asíntota horizontal** $y=0$ hacia $-\infty$. 4. La función decrece hasta el punto $(1, e)$ y luego crece hacia $+\infty$. El esbozo muestra una rama en el tercer cuadrante que se aproxima al eje $X$ y cae hacia la asíntota vertical, y otra rama en el primer cuadrante con un valle en el mínimo relativo.