Cálculo de parámetros en una función polinómica

Para resolver el ejercicio, debemos identificar las tres condiciones matemáticas que nos permitirán plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ($A$, $B$ y $C$): 1. **Condición de paso por un punto:** $f(-1) = 0$. 2. **Condición de extremo relativo:** Si existe un extremo en $x = 0$, la primera derivada en ese punto debe ser cero: $f'(0) = 0$. 3. **Condición de la recta tangente:** La pendiente de la recta tangente en $x = -1$ (que es $f'(-1)$) debe ser igual a la pendiente de la recta $y + 3x = 0$. Calculamos primero la derivada genérica de $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$: $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es derivable, la condición necesaria para tener un extremo relativo en $x_0$ es que $f'(x_0) = 0$.

Utilizamos la condición del extremo relativo en $x = 0$: $$f'(0) = 0$$ Sustituimos $x = 0$ en la expresión de la derivada: $$f'(0) = 3(0)^2 + 2A(0) + B = 0$$ $$0 + 0 + B = 0 \implies B = 0$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{B = 0}$$

La recta tangente en $x = -1$ es paralela a la recta $y + 3x = 0$. Primero, hallamos la pendiente de dicha recta despejando $y$: $$y = -3x \implies m = -3$$ Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, sabemos que $f'(-1) = -3$. Utilizamos la expresión de la derivada (sabiendo ya que $B = 0$): $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax$$ $$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2A(-1) = -3$$ $$3 - 2A = -3$$ $$-2A = -3 - 3$$ $$-2A = -6 \implies A = \frac{-6}{-2} = 3$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. La pendiente de la recta tangente a $f$ en $x=a$ coincide con el valor de $f'(a)$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{A = 3}$$

Finalmente, usamos la condición $f(-1) = 0$ con los valores de $A$ y $B$ ya obtenidos: $$f(x) = x^3 + 3x^2 + 0x + C$$ $$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + C = 0$$ $$-1 + 3(1) + C = 0$$ $$-1 + 3 + C = 0$$ $$2 + C = 0 \implies C = -2$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{C = -2}$$

Los valores de los parámetros son: - **$A = 3$** - **$B = 0$** - **$C = -2$** La función buscada es: $$\boxed{f(x) = x^3 + 3x^2 - 2}$$ Podemos verificar rápidamente: 1. $f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$ (Correcto). 2. $f'(x) = 3x^2 + 6x \implies f'(0) = 0$ (Extremo en $x=0$, correcto). 3. $f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3$, que es la pendiente de $y = -3x$ (Correcto).