Existencia de soluciones en ecuaciones trascendentes

**Probar que la ecuación $e^{-x}(x - 1) = 1$ no tiene solución para $x \in \mathbb{R}$. (2 puntos)** Para demostrar que la ecuación no tiene solución, transformamos el problema en el estudio de una función. Reordenamos la ecuación igualándola a cero: $$e^{-x}(x - 1) - 1 = 0$$ Definimos la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como: $$f(x) = e^{-x}(x - 1) - 1$$ Nuestro objetivo es demostrar que la función $f(x)$ nunca toma el valor $0$ para ningún valor de $x$ real. Para ello, buscaremos sus extremos relativos y su valor máximo. 💡 **Tip:** Si demostramos que el valor máximo absoluto de una función es menor que cero, entonces la función siempre será negativa y nunca podrá ser igual a cero (no tendrá raíces).

Calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del producto para el primer término: $$f'(x) = [e^{-x}]' \cdot (x - 1) + e^{-x} \cdot [x - 1]' - [1]'$$ $$f'(x) = -e^{-x}(x - 1) + e^{-x}(1) - 0$$ Factorizamos $e^{-x}$ para simplificar la expresión: $$f'(x) = e^{-x} [-(x - 1) + 1] = e^{-x} [-x + 1 + 1] = e^{-x}(2 - x)$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$e^{-x}(2 - x) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero ($e^{-x} \gt 0$ para todo $x$), la única solución es: $$2 - x = 0 \implies x = 2$$ $$\boxed{x = 2 \text{ es el único punto crítico}}$$

Analizamos el signo de $f'(x) = e^{-x}(2 - x)$ a ambos lados del punto crítico $x = 2$ para determinar el crecimiento y decrecimiento de la función. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline e^{-x} & + & + & + \\ (2 - x) & + & 0 & - \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente (\uparrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\downarrow)} \end{array} $$ - En el intervalo $(-\infty, 2)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En el intervalo $(2, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. 💡 **Tip:** Al pasar de crecer a decrecer en $x=2$, confirmamos que hay un **máximo relativo** en ese punto. Dado que es el único extremo, será el **máximo absoluto** de la función.

Calculamos el valor de la función en su máximo absoluto, $x = 2$: $$f(2) = e^{-2}(2 - 1) - 1 = e^{-2}(1) - 1 = \frac{1}{e^2} - 1$$ Evaluamos el signo de este resultado. Sabemos que $e \approx 2.718$, por lo que $e^2 \approx 7.39$. Entonces: $$\frac{1}{e^2} \lt 1 \implies \frac{1}{e^2} - 1 \lt 0$$ Como el valor máximo de la función es negativo ($f(2) \approx -0.865$), la función $f(x)$ siempre se mantiene por debajo del eje $X$: $$f(x) \le f(2) \lt 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ Por tanto, la ecuación $f(x) = 0$ no tiene solución real, lo que implica que la ecuación original $e^{-x}(x - 1) = 1$ no tiene solución. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La ecuación no tiene solución ya que el valor máximo de } f(x) \text{ es } \frac{1}{e^2}-1 \lt 0}$$