Paralelismo de rectas y plano que las contiene

**a) Determinar los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los que las dos rectas $r_1$ y $r_2$ son paralelas. (1 punto)** Dos rectas en el espacio son paralelas si sus vectores directores son proporcionales y no tienen puntos en común (paralelas estrictas) o si todos sus puntos son comunes (coincidentes). La recta $r_1$ viene dada en forma paramétrica: $$r_1 \equiv \begin{cases} x = 1 + 0t \\ y = 0 + kt \\ z = k - 2t \end{cases}$$ De aquí extraemos directamente un punto $P_1$ y su vector director $\vec{v}_1$: - Punto de $r_1$: $P_1(1, 0, k)$ - Vector director: $\vec{v}_1 = (0, k, -2)$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, los coeficientes del parámetro $t$ forman el vector director de la recta.

La recta $r_2$ está definida como la intersección de dos planos (forma implícita o general). Su vector director $\vec{v}_2$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos, $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Los vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (1, 2, 2) \quad \text{y} \quad \vec{n}_2 = (1, 1, 1)$$ Calculamos el producto vectorial mediante un determinante: $$\vec{v}_2 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_2 = \mathbf{i}(2\cdot 1 - 2\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 2\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - 2\cdot 1)$$ $$\vec{v}_2 = 0\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + (-1)\mathbf{k} = (0, 1, -1)$$ $$\boxed{\vec{v}_2 = (0, 1, -1)}$$

Para que las rectas sean paralelas, sus vectores directores $\vec{v}_1 = (0, k, -2)$ y $\vec{v}_2 = (0, 1, -1)$ deben ser proporcionales: $$\frac{0}{0} = \frac{k}{1} = \frac{-2}{-1}$$ De la igualdad $\dfrac{k}{1} = \dfrac{-2}{-1}$, obtenemos: $$k = 2$$ 💡 **Tip:** Si $k=2$, los vectores son $\vec{v}_1 = (0, 2, -2)$ y $\vec{v}_2 = (0, 1, -1)$. Observamos que $\vec{v}_1 = 2\vec{v}_2$, por lo que son paralelos. Para confirmar que son paralelas (y no coincidentes), comprobamos si un punto de $r_1$, por ejemplo $P_1(1, 0, 2)$ para $k=2$, pertenece a $r_2$: $$r_2 \equiv \begin{cases} 1 + 2(0) + 2(2) = 5 \neq -1 \\ 1 + 0 + 2 = 3 \neq 2 \end{cases}$$ Como el punto no cumple las ecuaciones de $r_2$, las rectas son **paralelas estrictas** para $k=2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 2}$$

**b) Para $k = 2$ ¿Existe algún plano que contenga a las rectas $r_1$ y $r_2$? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan. (1 punto)** Dos rectas paralelas (sean coincidentes o no) siempre están contenidas en un mismo plano (son coplanarias). Para determinar la ecuación del plano $\pi$, necesitamos: 1. Un punto del plano: Usaremos $P_1(1, 0, 2)$ de la recta $r_1$. 2. Dos vectores directores no proporcionales contenidos en el plano: - El vector director de las rectas: $\vec{v} = (0, 1, -1)$. - Un vector que una un punto de $r_1$ con un punto de $r_2$, $\vec{u} = \vec{P_1P_2}$.

Para $k=2$, las ecuaciones de $r_2$ son: $$r_2 \equiv \begin{cases} x + 2y + 2z = -1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$ Buscamos un punto $P_2$ fijando una coordenada, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x + 2y = -1 \\ x + y = 2 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(x + 2y) - (x + y) = -1 - 2 \implies y = -3$. Sustituyendo en la segunda: $x - 3 = 2 \implies x = 5$. Así, $P_2(5, -3, 0)$. Calculamos el vector $\vec{u} = \vec{P_1P_2}$: $$\vec{u} = (5-1, -3-0, 0-2) = (4, -3, -2)$$ Tenemos ahora los elementos para el plano $\pi$: - Punto: $P_1(1, 0, 2)$ - Vectores: $\vec{v} = (0, 1, -1)$ y $\vec{u} = (4, -3, -2)$

La ecuación del plano se obtiene resolviendo el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$(x-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} + (z-2) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(-2 - 3) - y(0 - (-4)) + (z-2)(0 - 4) = 0$$ $$-5(x-1) - 4y - 4(z-2) = 0$$ $$-5x + 5 - 4y - 4z + 8 = 0$$ $$-5x - 4y - 4z + 13 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$5x + 4y + 4z - 13 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 5x + 4y + 4z - 13 = 0}$$