Geometría en el espacio 2024 Castilla y Leon
Cálculo del punto simétrico respecto a una recta
Para hallar el punto simétrico de un punto $P$ respecto a una recta $r$, seguiremos los siguientes pasos:
1. Datos del problema
* **Punto dado:** $P = (1, 0, -1)$
* **Recta $r$:** $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}$
2. Hallar la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$ (punto $M$)
3. Calcular el punto simétrico $P'$
Paso 1
Extracción de elementos de la recta
Para trabajar con la recta $r$, primero extraemos su vector director $\vec{v}$ y la expresamos en su forma paramétrica.
De la ecuación continua $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}$, identificamos el denominador como las componentes del vector director:
$$\vec{v} = (1, 2, 2)$$
Igualando cada fracción a un parámetro $\lambda$, obtenemos las **ecuaciones paramétricas de la recta $r$**:
$$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$
💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas nos permiten expresar cualquier punto genérico de la recta en función de una sola variable $\lambda$.
Paso 2
Definición del punto genérico M y el vector perpendicular
Sea $M$ la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Como $M$ pertenece a la recta, tiene la forma:
$$M(1 + \lambda, 2\lambda, 2\lambda)$$
Calculamos el vector $\vec{PM}$, que une el punto $P(1, 0, -1)$ con el punto genérico $M$:
$$\vec{PM} = M - P = (1 + \lambda - 1, 2\lambda - 0, 2\lambda - (-1)) = (\lambda, 2\lambda, 2\lambda + 1)$$
Para que $M$ sea la proyección ortogonal, el vector $\vec{PM}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v} = (1, 2, 2)$.
Paso 3
Cálculo del parámetro λ mediante el producto escalar
Aplicamos la condición de perpendicularidad: $\vec{PM} \cdot \vec{v} = 0$.
$$(\lambda, 2\lambda, 2\lambda + 1) \cdot (1, 2, 2) = 0$$
$$\lambda(1) + 2\lambda(2) + (2\lambda + 1)(2) = 0$$
$$\lambda + 4\lambda + 4\lambda + 2 = 0$$
$$9\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -\frac{2}{9}$$
💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero. Es la herramienta clave para hallar proyecciones.
Paso 4
Coordenadas del punto de proyección M
Sustituimos el valor de $\lambda = -\frac{2}{9}$ en las coordenadas de $M$:
* $x_M = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$
* $y_M = 2 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -\frac{4}{9}$
* $z_M = 2 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -\frac{4}{9}$
Por tanto, el punto de proyección es:
$$\boxed{M = \left(\frac{7}{9}, -\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}\right)}$$
Paso 5
Cálculo del punto simétrico P'
El punto de proyección $M$ es el **punto medio** del segmento que une el punto original $P(1, 0, -1)$ con su simétrico $P'(x', y', z')$.
La relación de punto medio es:
$$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$
Calculamos las componentes de $P'$:
* $x' = 2 \cdot \left(\frac{7}{9}\right) - 1 = \frac{14}{9} - \frac{9}{9} = \frac{5}{9}$
* $y' = 2 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) - 0 = -\frac{8}{9}$
* $z' = 2 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) - (-1) = -\frac{8}{9} + \frac{9}{9} = \frac{1}{9}$
Representación visual del concepto:
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{P' = \left(\frac{5}{9}, -\frac{8}{9}, \frac{1}{9}\right)}$$