Rango de una matriz con parámetros y ecuaciones matriciales

**a) Calcular el determinante y el rango de $M$ para cada valor $a \in \mathbb{R}$** Calculamos el determinante de la matriz $M$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}$$ $$|M| = (1 \cdot 1 \cdot a) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (2 \cdot a \cdot 1) - (2 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot a \cdot a) - (1 \cdot 0 \cdot 1)$$ $$|M| = a + 0 + 2a - 2 - a^2 - 0$$ $$|M| = -a^2 + 3a - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante es una herramienta fundamental para determinar el rango. Si $|M| \neq 0$, el rango es máximo (en este caso, 3). $$\boxed{|M| = -a^2 + 3a - 2}$$

Para estudiar el rango, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que reducen el rango de la matriz: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Los valores críticos son: $$a_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad a_2 = \frac{2}{2} = 1$$ Estos son los valores de $a$ para los cuales el **rango de $M$ será menor que 3**.

Analizamos el rango según los valores de $a$: * **Caso 1: Si $a \neq 1$ y $a \neq 2$** Como el determinante $|M| \neq 0$, la matriz es regular y el rango es máximo. **$\text{rango}(M) = 3$** * **Caso 2: Si $a = 1$** La matriz queda: $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 1) = 1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, **$\text{rango}(M) = 2$**.

* **Caso 3: Si $a = 2$** La matriz queda: $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Observamos que la fila 1 y la fila 3 son idénticas ($F_1 = F_3$), lo que confirma que $|M| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot 2) = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, **$\text{rango}(M) = 2$**. ✅ **Resumen del rango:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 1, 2 \implies \text{rango}(M) = 3 \\ \text{Si } a = 1 \text{ o } a = 2 \implies \text{rango}(M) = 2 \end{cases}}$$

**b) Para $a = 0$, calcular el determinante de la matriz $P$ cuando $2PM = M^3$** Primero, evaluamos el determinante de $M$ en $a = 0$ usando la expresión hallada en el apartado anterior: $$|M|_{a=0} = -0^2 + 3(0) - 2 = -2$$ Ahora, aplicamos la función determinante a ambos lados de la ecuación matricial $2PM = M^3$: $$|2PM| = |M^3|$$ 💡 **Tip:** Recuerda las propiedades de los determinantes: 1. $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$, donde $n$ es el orden de la matriz. 2. $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$ 3. $|A^n| = |A|^n$

Aplicamos las propiedades mencionadas, sabiendo que $M$ y $P$ son de orden $n = 3$: $$2^3 \cdot |P| \cdot |M| = |M|^3$$ $$8 \cdot |P| \cdot (-2) = (-2)^3$$ $$-16 \cdot |P| = -8$$ Despejamos el determinante de $P$: $$|P| = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|P| = 0,5 \quad (o \; 1/2)}$$