Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$:** En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero. Esto implica que el sistema siempre será compatible (siempre admite, al menos, la solución trivial $x=0, y=0, z=0$). Escribimos la matriz de coeficientes $A$ asociada al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 2a & 1 & 0 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}$$ Como es un sistema homogéneo, la matriz ampliada $A^*$ no aporta información adicional para el cálculo del rango, ya que la columna de ceros no lo altera. Por tanto, el estudio se centra en el determinante de $A$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 2a & 1 & 0 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot a) + \left(\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 2\right) + (1 \cdot 2a \cdot 1) - \left[ (2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + \left(a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2}\right) \right]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = (a) + (0) + (2a) - [ 2 + 0 + a^2 ]$$ $$|A| = 3a - 2 - a^2 = -a^2 + 3a - 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos del parámetro $a$: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos valores: **$a = 2$** y **$a = 1$**. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz $A$ es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Al ser homogéneo, la única solución es la trivial: **$\boxed{x=0, y=0, z=0}$**. **Caso 2: $a = 1$** El determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Sustituimos $a=1$ en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = 2$** El determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Sustituimos $a=2$ en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 1, 2: \text{S. Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 1: \text{S. Compatible Indeterminado} \\ \text{Si } a = 2: \text{S. Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resolverlo para $a = 1$.** Hemos visto que para $a = 1$ el sistema es **Compatible Indeterminado** con $\text{rg}(A) = 2$. El sistema original queda: $$\begin{cases} x + \frac{y}{2} + z = 0 \\ 2x + y = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$ Utilizamos las dos últimas ecuaciones (que son linealmente independientes, ya que el menor formado por sus coeficientes de $y$ y $z$ es distinto de cero): $$\begin{cases} 2x + y = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$ De la primera ecuación, despejamos $y$ en función de $x$: $$y = -2x$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$2x + (-2x) + z = 0 \implies 0 + z = 0 \implies z = 0$$ Si llamamos $x = \lambda$, la solución general depende del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En un SCI con $\text{rg}(A)=2$ y 3 incógnitas, las soluciones dependen de $3-2=1$ parámetro. ✅ **Resultado (Resolución $a=1$):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -2\lambda, 0) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$