Probabilidad y Estadística 2024 Cantabria
Distribución Normal e Independencia de Sucesos
Para resolver este problema de probabilidad, seguiremos paso a paso cada uno de los apartados solicitados.
### Datos del problema:
* La altura de los hombres de 17 años sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu = 175, \sigma = 7,41)$.
* Suceso $A$: hombres que miden más de 170 cm $\rightarrow A = \{X > 170\}$.
* Suceso $B$: personas que realizan la EBAU.
* Probabilidad del suceso contrario de $B$: $P(B^c) = 0,35$.
* **Suposición:** En este tipo de problemas, se asume que los sucesos $A$ (altura) y $B$ (realizar un examen) son **independientes**, ya que no se indica ninguna relación entre ellos.
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1) Calcule $P(A)$ [1 PUNTO]
2) Calcule $P(B)$ [0,5 PUNTOS]
3) Calcule $P(A \cap B^c)$ [0,5 PUNTOS]
4) Calcule $P(A \cup B)$ [0,5 PUNTOS]
Paso 1
Tipificación de la variable normal para P(A)
**1) Calcule $P(A)$ [1 PUNTO]**
El suceso $A$ se define como $X > 170$, donde $X$ es una variable aleatoria con distribución normal $N(175, 7,41)$. Para calcular esta probabilidad, debemos transformar $X$ en una variable normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de tipificación.
La fórmula de tipificación es:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
Sustituimos los valores:
$$P(A) = P(X > 170) = P\left(Z > \frac{170 - 175}{7,41}\right)$$
$$P(A) = P\left(Z > \frac{-5}{7,41}\right) \approx P(Z > -0,675)$$
💡 **Tip:** La tipificación permite usar las tablas estándar de la normal. Recuerda siempre restar la media y dividir por la desviación típica.
Paso 2
Cálculo final de P(A) mediante simetría
Como la distribución normal es simétrica respecto a la media, la probabilidad de que $Z$ sea mayor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que sea menor que ese mismo valor en positivo:
$$P(Z > -0,675) = P(Z < 0,675)$$
Consultamos los valores en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$:
- Para $z = 0,67$, la probabilidad es $0,7486$.
- Para $z = 0,68$, la probabilidad es $0,7517$.
Realizando una aproximación (o interpolación) para $z = 0,675$, obtenemos:
$$P(A) \approx 0,75$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A) = 0,75}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de B
**2) Calcule $P(B)$ [0,5 PUNTOS]**
Nos dan como dato la probabilidad del suceso contrario (o complementario), $P(B^c) = 0,35$. La suma de la probabilidad de un suceso y su contrario siempre es igual a $1$.
$$P(B) = 1 - P(B^c)$$
$$P(B) = 1 - 0,35 = 0,65$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(S) + P(S^c) = 1$ para cualquier suceso $S$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = 0,65}$$
Paso 4
Representación de sucesos independientes
Antes de proceder con los cálculos de intersección y unión, representamos la situación mediante un árbol de probabilidades. Dado que los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**, la probabilidad de que ocurra $B$ no depende de si ha ocurrido $A$ o no.
Paso 5
Cálculo de la intersección P(A ∩ B^c)
**3) Calcule $P(A \cap B^c)$ [0,5 PUNTOS]**
Al ser $A$ y $B$ sucesos independientes (y por tanto $A$ y $B^c$ también lo son), la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades:
$$P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(A \cap B^c) = 0,75 \cdot 0,35 = 0,2625$$
💡 **Tip:** Dos sucesos son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A \cap B^c) = 0,2625}$$
Paso 6
Cálculo de la unión P(A ∪ B)
**4) Calcule $P(A \cup B)$ [0,5 PUNTOS]**
Utilizamos la fórmula general para la probabilidad de la unión de dos sucesos:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
Primero calculamos $P(A \cap B)$ usando la propiedad de independencia:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,75 \cdot 0,65 = 0,4875$$
Ahora aplicamos la fórmula de la unión:
$$P(A \cup B) = 0,75 + 0,65 - 0,4875$$
$$P(A \cup B) = 1,40 - 0,4875 = 0,9125$$
💡 **Tip:** También se podría calcular mediante el suceso contrario: $P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - (0,25 \cdot 0,35) = 0,9125$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A \cup B) = 0,9125}$$