Ecuación del plano y volumen del tetraedro

**1) Obtener la ecuación vectorial del plano determinado por los puntos $A, B$ y $C$** Para hallar la ecuación vectorial de un plano, necesitamos un punto contenido en él y dos vectores directores que sean linealmente independientes (no paralelos). Tomamos como referencia el punto $A$ e identificamos los vectores que unen $A$ con los otros dos puntos: - **Punto de paso:** $A = (0, 3, 2)$ - **Vectores directores:** - $\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (4 - 0, 1 - 3, 3 - 2) = (4, -2, 1)$ - $\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (2 - 0, 3 - 3, 4 - 2) = (2, 0, 2)$ 💡 **Tip:** Para que tres puntos definan un plano, los vectores formados no deben ser proporcionales. Aquí vemos que $(4, -2, 1)$ no es múltiplo de $(2, 0, 2)$.

La **ecuación vectorial** de un plano $\pi$ que pasa por un punto $A$ con vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ tiene la forma: $$(x, y, z) = A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \quad \text{con } \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ Sustituyendo las coordenadas del punto $A(0, 3, 2)$ y los componentes de los vectores $\vec{u}(4, -2, 1)$ y $\vec{v}(2, 0, 2)$: $$(x, y, z) = (0, 3, 2) + \lambda(4, -2, 1) + \mu(2, 0, 2)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, 3, 2) + \lambda(4, -2, 1) + \mu(2, 0, 2)}$$

**2) Calcular el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D(0, 1, 2)$** El volumen $V$ de un tetraedro con vértices $A, B, C$ y $D$ se calcula mediante la sexta parte del valor absoluto del **producto mixto** de tres vectores concurrentes en un mismo vértice: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ Ya conocemos los vectores del apartado anterior: - $\vec{AB} = (4, -2, 1)$ - $\vec{AC} = (2, 0, 2)$ Calculamos el tercer vector con origen en $A$: - $\vec{AD} = D - A = (0 - 0, 1 - 3, 2 - 2) = (0, -2, 0)$ 💡 **Tip:** Puedes elegir cualquier vértice como origen (por ejemplo $\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD}$), el resultado del valor absoluto será el mismo.

El producto mixto se resuelve mediante el determinante de la matriz formada por las componentes de los vectores: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante por los elementos de la **tercera fila** (aprovechando los ceros): $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 2 \cdot (4 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 2 \cdot (8 - 2) = 2 \cdot 6 = 12$$ 💡 **Tip:** Al desarrollar por una fila o columna, recuerda alternar los signos del adjunto ($+, -, + \dots$).

Aplicamos finalmente la fórmula del volumen del tetraedro: $$V = \frac{1}{6} |12| = \frac{12}{6} = 2$$ El volumen es de 2 unidades cúbicas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 2 \text{ u}^3}$$