Estudio de una función trigonométrica con parámetros

**1) [0,5 PUNTOS] Determine la constante para que la función valga 0 cuando $x = \pi/2$.** Para que la función valga $0$ en $x = \pi/2$, debemos imponer la condición $f(\pi/2) = 0$. Sustituimos el valor de $x$ en la expresión de la función: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a\left(\frac{\pi}{2}\right) + \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ Sabemos que $\text{sen}(\pi/2) = 1$, por lo tanto: $$a \cdot \frac{\pi}{2} + 1 = 0$$ Despejamos la constante $a$: $$a \cdot \frac{\pi}{2} = -1 \implies a = -\frac{2}{\pi}$$ 💡 **Tip:** Recuerda los valores fundamentales de las razones trigonométricas: $\text{sen}(0)=0$, $\text{sen}(\pi/2)=1$, $\text{sen}(\pi)=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -\dfrac{2}{\pi}}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ para el valor de $a$ calculado.** Con $a = -2/\pi$, la función es $f(x) = -\dfrac{2}{\pi}x + \text{sen}(x)$. Para estudiar la monotonía, calculamos su primera derivada: $$f'(x) = -\frac{2}{\pi} + \cos(x)$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero dentro del intervalo $[0, 2\pi]$: $$f'(x) = 0 \implies \cos(x) - \frac{2}{\pi} = 0 \implies \cos(x) = \frac{2}{\pi}$$ Como $\frac{2}{\pi} \approx 0.6366$, que es un valor entre $-1$ y $1$, existen dos soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: 1. $x_1 = \arccos\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0.88$ rad. 2. $x_2 = 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 5.40$ rad. Llamaremos $\alpha = \arccos(2/\pi)$ para facilitar la notación. 💡 **Tip:** El crecimiento de una función viene determinado por el signo de su primera derivada: si $f'(x) > 0$ crece, y si $f'(x) < 0$ decrece.

Analizamos el signo de $f'(x) = \cos(x) - \frac{2}{\pi}$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro de $[0, 2\pi]$: - En $[0, \alpha)$: Tomamos $x = 0 \implies f'(0) = 1 - 2/\pi > 0$. La función es **creciente**. - En $(\alpha, 2\pi - \alpha)$: Tomamos $x = \pi \implies f'(\pi) = -1 - 2/\pi < 0$. La función es **decreciente**. - En $(2\pi - \alpha, 2\pi]$: Tomamos $x = 2\pi \implies f'(2\pi) = 1 - 2/\pi > 0$. La función es **creciente**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & [0, \alpha) & \alpha & (\alpha, 2\pi-\alpha) & 2\pi-\alpha & (2\pi-\alpha, 2\pi] \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Donde $\alpha = \arccos(2/\pi)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente: } [0, \alpha) \cup (2\pi - \alpha, 2\pi] \\ &\text{Decreciente: } (\alpha, 2\pi - \alpha) \end{aligned}}$$

**3) [1 PUNTO] Calcule una primitiva de $f(x)$.** Para hallar una primitiva $F(x)$, calculamos la integral indefinida de la función $f(x) = -\dfrac{2}{\pi}x + \text{sen}(x)$: $$F(x) = \int \left( -\frac{2}{\pi}x + \text{sen}(x) \right) dx$$ Aplicamos la linealidad de la integral: $$F(x) = -\frac{2}{\pi} \int x \, dx + \int \text{sen}(x) \, dx$$ Resolvemos las integrales inmediatas: $$F(x) = -\frac{2}{\pi} \cdot \frac{x^2}{2} + (-\cos(x)) + C$$ Simplificando el primer término: $$F(x) = -\frac{x^2}{\pi} - \cos(x) + C$$ Como el enunciado pide "una" primitiva, podemos tomar $C=0$. 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y que $\int \text{sen}(x) dx = -\cos(x) + C$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = -\dfrac{x^2}{\pi} - \cos(x)}$$