Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**1) [0,75 PUNTOS] Razone si el sistema puede ser incompatible. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & | & -1 \\ -2 & 0 & 4 & | & -6 \\ 1 & -2 & \lambda & | & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus para analizar su rango: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & \lambda \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 \cdot \lambda) + (-3 \cdot 4 \cdot 1) + (2 \cdot (-2) \cdot (-2)) - [1 \cdot 0 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) \cdot \lambda + (-2) \cdot 4 \cdot 1]$$ $$|A| = 0 - 12 + 8 - [0 + 6\lambda - 8] = -4 - 6\lambda + 8 = 4 - 6\lambda$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$4 - 6\lambda = 0 \implies 6\lambda = 4 \implies \lambda = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el rango de $A$ es máximo. Si $|A| \neq 0$, el rango es 3.

Para $\lambda = \frac{2}{3}$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Comprobamos si el rango es 2 buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 6 = -6 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ para este valor. Tomamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -1 \\ -2 & 0 & -6 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 18 - 4) - (0 + 12 + 0) = 14 - 12 = 2 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es incompatible si } \lambda = \frac{2}{3}}$$

**2) [0,75 PUNTOS] Razone si el sistema puede ser compatible determinado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.** Para que un sistema sea compatible determinado (SCD), el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas ($n=3$). Hemos visto en el paso 1 que $|A| = 4 - 6\lambda$. Si $\lambda \neq \frac{2}{3}$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso: - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ (ya que no puede superar el número de filas y contiene a $A$) - $n = 3$ Por el Teorema de Rouché-Frobenius, al cumplirse $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n = 3$, el sistema tiene una solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es compatible determinado si } \lambda \neq \frac{2}{3}}$$

**3) [0,75 PUNTOS] Razone si el sistema puede ser compatible indeterminado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.** Para que un sistema sea compatible indeterminado (SCI), se debe cumplir que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) \lt n$ (siendo $n=3$ en este caso). Para que el rango sea menor que 3, es obligatorio que $\lambda = \frac{2}{3}$. Sin embargo, en el apartado 1 hemos demostrado que para $\lambda = \frac{2}{3}$: - $\text{rang}(A) = 2$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ Como los rangos son distintos, el sistema es incompatible. No existe ningún otro valor de $\lambda$ que haga $|A|=0$. Por tanto, el sistema nunca puede tener infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema no puede ser compatible indeterminado para ningún } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**4) [0,25 PUNTOS] Razone si el sistema tiene solución única para $\lambda = 1$. En caso afirmativo, calcule dicha solución.** Como $\lambda = 1 \neq \frac{2}{3}$, por lo razonado en el apartado 2, el sistema es **Compatible Determinado** y tiene solución única. Sustituimos $\lambda = 1$ en el sistema: $$\begin{cases} x - 3y + 2z = -1 \\ -2x + 4z = -6 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$$ Resolvemos por el método de Cramer. El determinante es $|A| = 4 - 6(1) = -2$. Calculamos las incógnitas: $$x = \frac{\begin{vmatrix} -1 & -3 & 2 \\ -6 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{24 - (8 + 18)}{-2} = \frac{24 - 26}{-2} = 1$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & -6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(-6 - 4) - (-12 + 2)}{-2} = \frac{-10 + 10}{-2} = 0$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -3 & -1 \\ -2 & 0 & -6 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(18 - 4) - (12)}{-2} = \frac{14 - 12}{-2} = -1$$ 💡 **Tip:** También podrías resolverlo por Gauss o sustitución. De la segunda ecuación se obtiene directamente $x = 2z + 3$ para simplificar cálculos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, y = 0, z = -1}$$