Probabilidad y Estadística 2024 Cantabria
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Test de diagnóstico
**Ejercicio 4** [2,5 PUNTOS]
Se ha desarrollado un test para detectar un tipo particular de artritis en personas de alrededor de 50 años. Calcule la probabilidad de que una persona esté enferma si al hacerle el test este sale positivo. Conocemos por un estudio previo que:
* La probabilidad de que las personas sobre 50 años tengan este tipo de artritis es de 0,10.
* La probabilidad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años con la artritis estudiada es de 0,85.
* La probabilidad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años sin la artritis estudiada es de 0,04.
Paso 1
Definición de sucesos y extracción de datos
**Calcule la probabilidad de que una persona esté enferma si al hacerle el test este sale positivo.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
- $E$: La persona está enferma (tiene el tipo de artritis).
- $\bar{E}$: La persona no está enferma (está sana).
- $+$: El test da un resultado positivo.
- $-$: El test da un resultado negativo.
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- Probabilidad de estar enfermo: $P(E) = 0,10$
- Probabilidad de estar sano: $P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,10 = 0,90$
- Probabilidad de positivo dado que está enfermo (sensibilidad): $P(+|E) = 0,85$
- Probabilidad de positivo dado que está sano (falso positivo): $P(+|\bar{E}) = 0,04$
💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con sucesos encadenados (primero el estado de salud y luego el resultado del test), es fundamental definir bien los sucesos antes de operar.
Paso 2
Representación mediante árbol de probabilidad
Para visualizar mejor las probabilidades de cada rama y las intersecciones, utilizamos un diagrama de árbol:
Paso 3
Cálculo de la probabilidad total de positivo
Para hallar la probabilidad de que una persona esté enferma sabiendo que ha dado positivo, primero necesitamos la probabilidad total de que el test salga positivo, $P(+)$.
Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(+) = P(E \cap +) + P(\bar{E} \cap +)$$
$$P(+) = P(E) \cdot P(+|E) + P(\bar{E}) \cdot P(+|\bar{E})$$
Sustituyendo los valores calculados en el árbol:
$$P(+) = (0,10 \cdot 0,85) + (0,90 \cdot 0,04)$$
$$P(+) = 0,085 + 0,036 = 0,121$$
💡 **Tip:** El denominador en el Teorema de Bayes siempre es la probabilidad total del suceso que ya ha ocurrido (en este caso, que el test sea positivo).
$$\boxed{P(+) = 0,121}$$
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes
Nos piden la probabilidad de que esté enferma dado que el test es positivo: $P(E|+)$.
Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|+) = \frac{P(E \cap +)}{P(+)} = \frac{P(E) \cdot P(+|E)}{P(+)}$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$P(E|+) = \frac{0,085}{0,121}$$
Calculamos el resultado final:
$$P(E|+) \approx 0,7025$$
Esto significa que, si el test sale positivo, hay aproximadamente un **70,25%** de probabilidad de que la persona realmente tenga ese tipo de artritis.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{P(E|+) = \frac{85}{121} \approx 0,7025}$$