Área de un rectángulo y ecuaciones de sus lados

**1) [1,25 PUNTOS] Calcule la constante $a$ de forma que el área del rectángulo sea $5 \text{ u}^2$.** El área de un rectángulo se calcula como el producto de sus lados contiguos. Primero, obtenemos el vector que une los vértices $A$ y $B$ y calculamos su módulo (longitud): $$\vec{AB} = B - A = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo de un vector $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ es $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. $$\boxed{|\vec{AB}| = 1}$$

Ahora calculamos el vector que une los vértices $B$ y $C$ en función del parámetro $a$: $$\vec{BC} = C - B = (a, 4, 1) - (0, 0, 1) = (a, 4, 0)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{BC}| = \sqrt{a^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + 16}$$ Como $A, B, C$ y $D$ son vértices consecutivos de un rectángulo, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ son perpendiculares (su producto escalar es $0 \cdot a + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 0 = 0$), lo que confirma que estamos midiendo lados perpendiculares. $$\boxed{|\vec{BC}| = \sqrt{a^2 + 16}}$$

El área del rectángulo es el producto de las longitudes de los lados $|\vec{AB}|$ y $|\vec{BC}|$. Igualamos este producto a $5$: $$\text{Área} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| = 1 \cdot \sqrt{a^2 + 16} = 5$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$a^2 + 16 = 5^2$$ $$a^2 + 16 = 25$$ $$a^2 = 25 - 16$$ $$a^2 = 9$$ Dado que el enunciado especifica que $a \geq 0$, tomamos la raíz positiva: $$a = \sqrt{9} = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Calcule las ecuaciones paramétricas de las rectas de los lados del rectángulo para $a = 3$.** Sustituyendo $a = 3$, los puntos son: $A(0,0,0)$, $B(0,0,1)$, $C(3,4,1)$ y $D(3,4,0)$. La ecuación paramétrica de una recta se define como $P = P_0 + t\vec{v}$. * **Recta $r_{AB}$:** Pasa por $A(0,0,0)$ con dirección $\vec{AB} = (0,0,1)$. $$r_{AB}: \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{cases} , t \in \mathbb{R}$$ * **Recta $r_{BC}$:** Pasa por $B(0,0,1)$ con dirección $\vec{BC} = (3,4,0)$. $$r_{BC}: \begin{cases} x = 3t \\ y = 4t \\ z = 1 \end{cases} , t \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, $x, y, z$ se expresan en función de un punto $(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $(v_x, v_y, v_z)$ multiplicado por un parámetro $t$.

Continuamos con los lados restantes aprovechando el paralelismo de los lados opuestos de un rectángulo: * **Recta $r_{CD}$:** Pasa por $D(3,4,0)$ y es paralela a $\vec{AB} = (0,0,1)$. $$r_{CD}: \begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \\ z = t \end{cases} , t \in \mathbb{R}$$ * **Recta $r_{DA}$:** Pasa por $A(0,0,0)$ y es paralela a $\vec{BC} = (3,4,0)$. $$r_{DA}: \begin{cases} x = 3t \\ y = 4t \\ z = 0 \end{cases} , t \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r_{AB}: \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=t \end{cases}; \, r_{BC}: \begin{cases} x=3t \\ y=4t \\ z=1 \end{cases}; \, r_{CD}: \begin{cases} x=3 \\ y=4 \\ z=t \end{cases}; \, r_{DA}: \begin{cases} x=3t \\ y=4t \\ z=0 \end{cases}}$$