Estudio de función a trozos: asíntotas y puntos de inflexión

**1) [1,25 PUNTOS] Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s).** Primero, analizamos el dominio de cada rama de la función: - Para $x \le 5$, $f(x) = x^3 - 10x^2 + 25x$ es una función polinómica, por lo que es continua en $(-\infty, 5]$. - Para $x > 5$, $f(x) = \ln(x^2 - 25)$. El logaritmo requiere que $x^2 - 25 \gt 0$, lo cual se cumple siempre que $x \gt 5$ o $x \lt -5$. Al estar en el intervalo $x \gt 5$, la función está definida y es continua. Analizamos el comportamiento en el **salto entre ramas** ($x=5$): $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = 5^3 - 10(5^2) + 25(5) = 125 - 250 + 125 = 0.$$ $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} \ln(x^2 - 25) = \ln(0^+) = -\infty.$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto es infinito, existe una asíntota vertical en dicho valor.

A partir del límite calculado anteriormente: $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = -\infty$$ Podemos afirmar que existe una **asíntota vertical** en la rama derecha. No existen más candidatos a asíntota vertical, ya que las funciones componentes son continuas en sus respectivos dominios de definición. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 5}$$

Buscamos asíntotas en el infinito: **Rama izquierda ($x \to -\infty$):** $$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 10x^2 + 25x) = -\infty$$ No hay asíntota horizontal. Comprobamos la oblicua ($y = mx + n$): $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - 10x^2 + 25x}{x} = \lim_{x \to -\infty} (x^2 - 10x + 25) = +\infty$$ Como $m$ es infinito, **no hay asíntota oblicua** por la izquierda. **Rama derecha ($x \to +\infty$):** $$\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2 - 25) = +\infty$$ No hay asíntota horizontal. Comprobamos la oblicua: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 - 25)}{x} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^2 - 25}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2 - 25} = 0$$ Como $m=0$, la asíntota oblicua coincidiría con la horizontal, pero ya vimos que el límite es infinito. Por tanto, **no hay asíntota oblicua** por la derecha. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{Solo hay una asíntota vertical en } x = 5}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Determine si $f(x)$ tiene punto(s) de inflexión. En caso afirmativo, calcúlelo(s).** Para hallar los puntos de inflexión, necesitamos la segunda derivada $f''(x)$. **Para $x \lt 5$:** $$f'(x) = 3x^2 - 20x + 25$$ $$f''(x) = 6x - 20$$ Buscamos los puntos donde $f''(x) = 0$: $$6x - 20 = 0 \implies 6x = 20 \implies x = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3,33$$ Como $x = \frac{10}{3}$ pertenece al intervalo $(-\infty, 5)$, es un posible punto de inflexión.

Estudiamos el signo de $f''(x)$ alrededor de $x = 10/3$ en la primera rama: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 10/3) & 10/3 & (10/3, 5)\\\hline f''(x) = 6x-20 & - & 0 & +\\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava (abajo) (\cap)} & \text{P.I.} & \text{Convexa (arriba) (\cup)} \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en $f''(x)$, existe un punto de inflexión. Calculamos su ordenada: $$f\left(\frac{10}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^3 - 10\left(\frac{10}{3}\right)^2 + 25\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{1000}{27} - \frac{1000}{9} + \frac{250}{3} = \frac{1000 - 3000 + 2250}{27} = \frac{250}{27} \approx 9,26$$ ✅ **Resultado (P.I. 1):** $$\boxed{P_1\left(\frac{10}{3}, \frac{250}{27}\right)}$$

**Para $x \gt 5$:** Calculamos la primera derivada: $$f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 25}$$ Calculamos la segunda derivada usando la regla del cociente: $$f''(x) = \frac{2(x^2 - 25) - (2x)(2x)}{(x^2 - 25)^2} = \frac{2x^2 - 50 - 4x^2}{(x^2 - 25)^2} = \frac{-2x^2 - 50}{(x^2 - 25)^2} = \frac{-2(x^2 + 25)}{(x^2 - 25)^2}$$ Analizamos si $f''(x) = 0$: $$-2(x^2 + 25) = 0 \implies x^2 = -25$$ No tiene soluciones reales. Además, dado que $(x^2+25) \gt 0$ y el denominador está al cuadrado, $f''(x) \lt 0$ para todo $x \gt 5$. Esto significa que en esta rama la función es siempre **cóncava hacia abajo ($\cap$)** y no presenta puntos de inflexión. 💡 **Tip:** Recuerda que un punto de inflexión requiere que la función sea continua en él. Aunque hubiera cambio de curvatura en $x=5$, no sería un punto de inflexión por la asíntota.

La función presenta una única asíntota vertical en $x=5$ y un único punto de inflexión en $x = 10/3$. En la siguiente gráfica se puede observar el comportamiento de la función, su asíntota y el punto donde cambia la curvatura.