Rango de una matriz 4x4 con parámetros

**Considere la matriz $A$ en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Razone cuál es el rango de $A$.** Para determinar el rango de la matriz $A$ de dimensiones $4 \times 4$, calcularemos primero su determinante $|A|$. - Si $|A| \neq 0$, el rango de la matriz será **4** (rango máximo). - Si $|A| = 0$, el rango será estrictamente menor que 4. Utilizaremos el **desarrollo por los elementos de una fila o columna** (teorema de Laplace). En este caso, la tercera fila ($R_3$) es la más adecuada porque contiene dos ceros, lo que simplifica notablemente los cálculos: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 3 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** El desarrollo por una fila se define como la suma de los elementos de esa fila multiplicados por sus respectivos adjuntos. Los signos siguen el patrón $\begin{pmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{pmatrix}$.

Aplicamos el desarrollo por la fila 3: $$|A| = 0 \cdot A_{31} + (-2) \cdot A_{32} + 1 \cdot A_{33} + 0 \cdot A_{34}$$ $$|A| = -(-2) \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & a & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Llamaremos $|D_1|$ al primer determinante de orden 3 y $|D_2|$ al segundo: $$|A| = 2 |D_1| + 1 |D_2|$$

Calculamos cada determinante utilizando la **regla de Sarrus**: Para $|D_1|$: $$|D_1| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & a & 3 \end{vmatrix} = (0 + 2 + 0) - (0 + 2a^2 + 3) = 2 - 2a^2 - 3 = -2a^2 - 1$$ Para $|D_2|$: $$|D_2| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (-3a + 2 + 0) - (0 + 2a + 3) = -3a + 2 - 2a - 3 = -5a - 1$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar Sarrus: $(a_{11}a_{22}a_{33} + \dots) - (a_{13}a_{22}a_{31} + \dots)$.

Sustituimos los resultados anteriores en la expresión general de $|A|$: $$|A| = 2(-2a^2 - 1) + 1(-5a - 1)$$ $$|A| = -4a^2 - 2 - 5a - 1$$ $$|A| = -4a^2 - 5a - 3$$ El determinante de la matriz es un polinomio de segundo grado en función de $a$: $$\boxed{|A| = -4a^2 - 5a - 3}$$

Para saber si el rango puede ser menor que 4, buscamos los valores de $a$ que hacen que $|A| = 0$: $$-4a^2 - 5a - 3 = 0 \implies 4a^2 + 5a + 3 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: Calculamos el discriminante ($\Delta$): $$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(4)(3) = 25 - 48 = -23$$ Como **$\Delta \lt 0$**, la ecuación no tiene soluciones reales. Esto significa que no existe ningún valor de $a \in \mathbb{R}$ que anule el determinante. 💡 **Tip:** Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es negativo, la parábola asociada no corta el eje X; por tanto, el trinomio siempre mantiene el mismo signo (en este caso, siempre negativo).

Puesto que $|A| \neq 0$ para cualquier valor real de $a$, la matriz $A$ siempre tiene cuatro filas/columnas linealmente independientes. Por lo tanto: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{rg}(A) = 4 \quad \forall a \in \mathbb{R}}$$