Distribución normal e independencia de sucesos

**1) [1,25 PUNTOS] Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía y mida más de 180 cm.** Primero, definimos las variables aleatorias y los sucesos del problema: - $X$: Altura de una mujer de 18 años (en cm). Sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu = 175, \sigma = 7,41)$. - $L$: El suceso de que la mujer se llame Lucía. Según el enunciado, $P(L) = 0,006$. Para resolver el problema, necesitamos calcular la probabilidad de que una mujer mida más de $180$ cm, es decir, $P(X \gt 180)$. Para ello, realizamos la **tipificación** de la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{180 - 175}{7,41} = \frac{5}{7,41} \approx 0,6748$$ Redondeando a dos decimales para usar las tablas de la normal estándar, tenemos $z = 0,67$. Buscamos en la tabla $P(Z \le 0,67)$: $$P(Z \le 0,67) = 0,7486$$ Por tanto, la probabilidad de medir más de $180$ cm es: $$P(X \gt 180) = P(Z \gt 0,67) = 1 - P(Z \le 0,67) = 1 - 0,7486 = 0,2514$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para tipificar usamos la fórmula $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$. Como la tabla nos da la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), para calcular el área a la derecha usamos el suceso contrario: $P(Z \gt z) = 1 - P(Z \le z)$.

Como el nombre de una persona y su altura son **sucesos independientes**, la probabilidad de que ocurran ambos a la vez (intersección) es el producto de sus probabilidades individuales. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad: Calculamos la probabilidad solicitada: $$P(L \cap \{X \gt 180\}) = P(L) \cdot P(X \gt 180)$$ $$P(L \cap \{X \gt 180\}) = 0,006 \cdot 0,2514 = 0,0015084$$ La probabilidad es de aproximadamente un **$0,15\%$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(L \cap \{X \gt 180\}) = 0,0015084}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía o mida más de 180 cm.** Para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso **o** el otro (unión de sucesos), aplicamos la regla de la suma: $$P(L \cup \{X \gt 180\}) = P(L) + P(X \gt 180) - P(L \cap \{X \gt 180\})$$ Utilizamos los valores obtenidos en los pasos anteriores: - $P(L) = 0,006$ - $P(X \gt 180) = 0,2514$ - $P(L \cap \{X \gt 180\}) = 0,0015084$ Sustituimos en la fórmula: $$P(L \cup \{X \gt 180\}) = 0,006 + 0,2514 - 0,0015084 = 0,2558916$$ La probabilidad es de aproximadamente un **$25,59\%$**. 💡 **Tip:** No olvides restar la intersección en la probabilidad de la unión, ya que de lo contrario estarías contando dos veces el caso en que una mujer se llama Lucía y además mide más de 180 cm. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(L \cup \{X \gt 180\}) = 0,2558916}$$