Ángulos y área de un triángulo en el espacio

**1) [1,25 PUNTOS] Calcule los ángulos internos del triángulo.** Para calcular los ángulos internos del triángulo, primero definimos los vectores que parten de cada vértice. Para el ángulo en el vértice $A$, utilizaremos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (3 - 6, 0 - 2, 5 - (-1)) = (-3, -2, 6)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-2 - 6, 1 - 2, 2 - (-1)) = (-8, -1, 3)$$ Calculamos también sus módulos: $$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector entre dos puntos $P$ y $Q$ se calcula como $\vec{PQ} = Q - P$.

Utilizamos la fórmula del producto escalar para hallar el ángulo $\alpha$ (en el vértice $A$): $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(-8) + (-2)(-1) + (6)(3) = 24 + 2 + 18 = 44$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos(\alpha) = \frac{44}{7 \cdot \sqrt{74}} \approx \frac{44}{7 \cdot 8.602} \approx 0.7307$$ $$\alpha = \arccos(0.7307) \approx 43.05^\circ$$ ✅ **Ángulo en A:** $$\boxed{\hat{A} \approx 43.05^\circ}$$

Para el ángulo $\beta$ (en el vértice $B$), necesitamos los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$: $$\vec{BA} = -\vec{AB} = (3, 2, -6)$$ $$\vec{BC} = C - B = (-2 - 3, 1 - 0, 2 - 5) = (-5, 1, -3)$$ Calculamos los módulos necesarios: $$|\vec{BA}| = 7$$ $$|\vec{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-5) + (2)(1) + (-6)(-3) = -15 + 2 + 18 = 5$$ Calculamos el ángulo: $$\cos(\beta) = \frac{5}{7 \cdot \sqrt{35}} \approx \frac{5}{7 \cdot 5.916} \approx 0.1207$$ $$\beta = \arccos(0.1207) \approx 83.07^\circ$$ ✅ **Ángulo en B:** $$\boxed{\hat{B} \approx 83.07^\circ}$$

Sabiendo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^\circ$: $$\hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B})$$ $$\hat{C} = 180^\circ - (43.05^\circ + 83.07^\circ) = 180^\circ - 126.12^\circ = 53.88^\circ$$ 💡 **Tip:** Siempre es más rápido calcular el tercer ángulo restando de $180^\circ$, pero puedes verificarlo con el producto escalar de $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ para estar seguro. ✅ **Ángulo en C:** $$\boxed{\hat{C} \approx 53.88^\circ}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Calcule el área del triángulo.** El área de un triángulo con vértices $A, B$ y $C$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -2 & 6 \\ -8 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [(-2)(3)\vec{i} + (6)(-8)\vec{j} + (-3)(-1)\vec{k}] - [(-8)(-2)\vec{k} + (-1)(6)\vec{i} + (3)(-3)\vec{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [-6\vec{i} - 48\vec{j} + 3\vec{k}] - [16\vec{k} - 6\vec{i} - 9\vec{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-6+6)\vec{i} + (-48+9)\vec{j} + (3-16)\vec{k} = (0, -39, -13)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, -39, -13)}$$

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + (-39)^2 + (-13)^2} = \sqrt{0 + 1521 + 169} = \sqrt{1690}$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{1690}}{2} \approx \frac{41.11}{2} \approx 20.55 \text{ u}^2$$ Podemos simplificar el radical: $\sqrt{1690} = \sqrt{169 \cdot 10} = 13\sqrt{10}$. $$\text{Área} = \frac{13\sqrt{10}}{2} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{13\sqrt{10}}{2} \approx 20.55 \text{ unidades}^2}$$