Estudio de dominio, continuidad y asíntotas de una función a trozos

**1. [0,5 PUNTOS] Determine el dominio de definición de $f(x)$.** El dominio de una función definida a trozos es la unión de los dominios de cada una de sus ramas dentro de sus respectivos intervalos de definición. * **Primera rama ($x \leq 10$):** $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x}$. Es una función racional. El dominio son todos los valores reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0, \, x = -1$$ Como ambos valores pertenecen al intervalo $(-\infty, 10]$, deben excluirse del dominio. * **Segunda rama ($x > 10$):** $f(x) = \sqrt{x + 1}$. Es una función raíz cuadrada. Está definida si el radicando es no negativo: $$x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$$ Dado que esta rama solo aplica para $x > 10$, la condición se cumple siempre en su intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones racionales el denominador no puede ser cero, y para raíces de índice par el interior debe ser $\geq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)}$$

**2. [1 PUNTO] Determine los intervalos, del dominio de definición, en que $f(x)$ es continua.** Analizamos la continuidad en tres partes: 1. **Intervalos abiertos de las ramas:** - En $(-\infty, 10] \setminus \{-1, 0\}$, la función es racional y continua por estar definida. - En $(10, \infty)$, la función raíz es continua por estar definida. 2. **Punto de salto ($x = 10$):** Para que sea continua en $x=10$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: - $f(10) = \dfrac{10 + 1}{10^2 + 10} = \dfrac{11}{110} = \dfrac{1}{10}$ - $\lim_{x \to 10^-} f(x) = \lim_{x \to 10^-} \dfrac{x + 1}{x(x+1)} = \lim_{x \to 10^-} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{10}$ - $\lim_{x \to 10^+} f(x) = \lim_{x \to 10^+} \sqrt{x + 1} = \sqrt{11}$ Como $\frac{1}{10} \neq \sqrt{11}$, existe una **discontinuidad de salto finito** en $x = 10$. 💡 **Tip:** Simplificar la expresión $\frac{x+1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}$ (siempre que $x \neq -1$) facilita mucho el cálculo de límites. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Intervalos de continuidad: } (-\infty, -1), (-1, 0), (0, 10) \text{ y } (10, \infty)}$$

**3. [1 PUNTO] Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s).** **Asíntotas Verticales (A.V.):** Analizamos los puntos donde la función no está definida ($x = -1$ y $x = 0$): - **En $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^2+x} = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x} = -1$$ El límite es finito, por lo que en $x = -1$ hay una **discontinuidad evitable** (punto vacío), no una asíntota. - **En $x = 0$:** $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \pm \infty$$ Al ser el límite infinito, existe una **asíntota vertical en $x = 0$**. ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = 0}$$

**Asíntotas Horizontales (A.H.):** - **Hacia $-\infty$ (rama izquierda):** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{x^2+x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 0$** cuando $x \to -\infty$. - **Hacia $+\infty$ (rama derecha):** $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** - Por la izquierda no hay (hay A.H.). - Por la derecha ($y = mx + n$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x+1}{x^2}} = 0$$ Como $m=0$, no hay asíntota oblicua (el crecimiento de la raíz es sublineal). 💡 **Tip:** Si una función tiene asíntota horizontal en un sentido ($\pm\infty$), no puede tener oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Resumen final de asíntotas:** $$\boxed{\text{Vertical: } x = 0, \quad \text{Horizontal: } y = 0 \text{ (para } x \to -\infty)}$$