Determinante, matriz inversa y ecuación matricial

**1) [0,25 PUNTOS] Calcule el determinante de $A$.** Para calcular el determinante de la matriz $A$ de orden $3 \times 3$, aplicamos la regla de Sarrus o desarrollamos por una columna. En este caso, la tercera columna tiene dos ceros, lo que facilita el desarrollo: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera columna: $$|A| = 1 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) = 1 \cdot (1 - 2) = -1$$ 💡 **Tip:** Si una fila o columna tiene muchos ceros, desarrollar por ella ahorra tiempo y reduce errores de cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = -1}$$

**2) [1 PUNTO] Razone si $A$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcule la inversa de $A$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Como hemos calculado en el apartado anterior que $|A| = -1 \neq 0$, **la matriz $A$ tiene inversa**. Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Primero, calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - (-2)) = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 1 = 0$ La matriz de adjuntos es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Ahora trasponemos: $\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. Finalmente: $A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**3) [0,25 PUNTOS] Determine el número de filas y de columnas de $X$ para que la ecuación tenga sentido.** Analizamos las dimensiones de las matrices involucradas en la ecuación $A_{m \times n} \cdot X_{n \times p} = B_{m \times p}$: - La matriz $A$ es de orden $3 \times 3$. - La matriz $B$ es de orden $3 \times 2$. Para que el producto $AX$ sea posible, el número de filas de $X$ debe ser igual al número de columnas de $A$, es decir, **3 filas**. Para que el resultado del producto tenga la misma dimensión que $B$ ($3 \times 2$), el número de columnas de $X$ debe coincidir con el de $B$, es decir, **2 columnas**. 💡 **Tip:** Recuerda que $(m \times n) \cdot (n \times p) = (m \times p)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \text{ debe ser una matriz de orden } 3 \times 2 \text{ (3 filas y 2 columnas)}}$$

**4) [1 PUNTO] Calcule el valor de $X$.** Para despejar $X$ en la ecuación $AX = B$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}B \implies (A^{-1}A)X = A^{-1}B \implies IX = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B$$ Sustituimos los valores de $A^{-1}$ y $B$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 & 6 \\ -1 & 5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila a fila: - Fila 1: - $x_{11} = 0(-9) + (-1)(-1) + (-1)(2) = 0 + 1 - 2 = -1$ - $x_{12} = 0(6) + (-1)(5) + (-1)(-5) = 0 - 5 + 5 = 0$ - Fila 2: - $x_{21} = 0(-9) + (-2)(-1) + (-1)(2) = 0 + 2 - 2 = 0$ - $x_{22} = 0(6) + (-2)(5) + (-1)(-5) = 0 - 10 + 5 = -5$ - Fila 3: - $x_{31} = 1(-9) + 1(-1) + 0(2) = -9 - 1 + 0 = -10$ - $x_{32} = 1(6) + 1(5) + 0(-5) = 6 + 5 + 0 = 11$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \\ -10 & 11 \end{pmatrix}}$$