Probabilidad y Estadística 2024 Cantabria
Elección del mejor tratamiento mediante Probabilidad Total
Ejercicio 4 [2,5 PUNTOS]
Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad $0,7$ se deben a la enfermedad 1 (E1), con una probabilidad $0,2$ a la enfermedad 2 (E2) y con una probabilidad $0,1$ a la enfermedad 3 (E3). Existen tres tratamientos diferentes, el A es el adecuado para E2, el B para E3 y el C para E1. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& \text{E1} & \text{E2} & \text{E3} \\
\hline
\text{Trat. A} & 0,6 & 1 & 0,4 \\
\hline
\text{Trat. B} & 0,65 & 0,5 & 0,9 \\
\hline
\text{Trat. C} & 0,75 & 0,2 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$$
Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene E3 es de $0,4$. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece?
Paso 1
Definición de eventos y organización de datos
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen:
* $E_1$: El paciente padece la enfermedad 1. $P(E_1) = 0,7$
* $E_2$: El paciente padece la enfermedad 2. $P(E_2) = 0,2$
* $E_3$: El paciente padece la enfermedad 3. $P(E_3) = 0,1$
* $C$: El paciente se cura.
Para decidir el mejor tratamiento, debemos calcular la probabilidad total de curación de cada uno: $P(C|A)$, $P(C|B)$ y $P(C|C)$.
Representamos la situación general mediante un diagrama de árbol de las enfermedades:
💡 **Tip:** El sumatorio de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo debe ser siempre $1$. En este caso: $0,7 + 0,2 + 0,1 = 1$.
Paso 2
Aplicación del Teorema de la Probabilidad Total
Para calcular la probabilidad de curación de cada tratamiento, utilizaremos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que si un suceso $C$ puede ocurrir a través de varios sucesos incompatibles $E_i$ que forman una partición del espacio muestral, entonces:
$$P(C) = P(E_1) \cdot P(C|E_1) + P(E_2) \cdot P(C|E_2) + P(E_3) \cdot P(C|E_3)$$
En nuestro caso, aplicaremos esta fórmula para cada tratamiento ($A$, $B$ y $C$) utilizando las probabilidades de curación condicionadas dadas en la tabla del enunciado.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de curación para el Tratamiento A
Sustituimos los valores de la tabla correspondientes a la fila del **Tratamiento A**:
$$P(C | A) = P(E_1) \cdot P(C | A, E_1) + P(E_2) \cdot P(C | A, E_2) + P(E_3) \cdot P(C | A, E_3)$$
$$P(C | A) = (0,7 \cdot 0,6) + (0,2 \cdot 1) + (0,1 \cdot 0,4)$$
Realizamos las operaciones paso a paso:
1. $0,7 \cdot 0,6 = 0,42$
2. $0,2 \cdot 1 = 0,20$
3. $0,1 \cdot 0,4 = 0,04$
$$P(C | A) = 0,42 + 0,20 + 0,04 = \mathbf{0,66}$$
✅ **Resultado parcial:**
$$\boxed{P(C | A) = 0,66}$$
Paso 4
Cálculo de la probabilidad de curación para el Tratamiento B
Sustituimos los valores de la tabla correspondientes a la fila del **Tratamiento B**:
$$P(C | B) = P(E_1) \cdot P(C | B, E_1) + P(E_2) \cdot P(C | B, E_2) + P(E_3) \cdot P(C | B, E_3)$$
$$P(C | B) = (0,7 \cdot 0,65) + (0,2 \cdot 0,5) + (0,1 \cdot 0,9)$$
Operamos:
1. $0,7 \cdot 0,65 = 0,455$
2. $0,2 \cdot 0,5 = 0,10$
3. $0,1 \cdot 0,9 = 0,09$
$$P(C | B) = 0,455 + 0,10 + 0,09 = \mathbf{0,645}$$
✅ **Resultado parcial:**
$$\boxed{P(C | B) = 0,645}$$
Paso 5
Cálculo de la probabilidad de curación para el Tratamiento C
Sustituimos los valores de la tabla correspondientes a la fila del **Tratamiento C**:
$$P(C | C) = P(E_1) \cdot P(C | C, E_1) + P(E_2) \cdot P(C | C, E_2) + P(E_3) \cdot P(C | C, E_3)$$
$$P(C | C) = (0,7 \cdot 0,75) + (0,2 \cdot 0,2) + (0,1 \cdot 0,5)$$
Operamos:
1. $0,7 \cdot 0,75 = 0,525$
2. $0,2 \cdot 0,2 = 0,04$
3. $0,1 \cdot 0,5 = 0,05$
$$P(C | C) = 0,525 + 0,04 + 0,05 = \mathbf{0,615}$$
✅ **Resultado parcial:**
$$\boxed{P(C | C) = 0,615}$$
Paso 6
Conclusión y elección del tratamiento
Finalmente, comparamos las probabilidades de curación obtenidas para cada tratamiento:
* Tratamiento A: $0,66$ ($66\%$)
* Tratamiento B: $0,645$ ($64,5\%$)
* Tratamiento C: $0,615$ ($61,5\%$)
Como $0,66 \gt 0,645 \gt 0,615$, el tratamiento que ofrece la mayor probabilidad de curar al paciente, dado que no conocemos la enfermedad exacta que padece, es el **Tratamiento A**.
💡 **Tip:** En problemas de decisión bajo incertidumbre, se elige la opción con el valor esperado (o probabilidad en este caso) más alto.
✅ **Resultado Final:**
$$\boxed{\text{Se debe administrar el Tratamiento A}}$$