Posición relativa de recta y plano con parámetros

**1) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual la recta esté contenida en el plano?** Para analizar la posición relativa, primero determinamos el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y un punto $P_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (1, 2, -1)$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [1 \cdot (-1)\mathbf{i} + 1 \cdot 1\mathbf{j} + 1 \cdot 2\mathbf{k}] - [1 \cdot 1\mathbf{k} + 1 \cdot 2\mathbf{i} + 1 \cdot (-1)\mathbf{j}]$$ $$\vec{v}_r = (-1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) - (1\mathbf{k} + 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j}) = -3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k}$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (-3, 2, 1)}$$ Buscamos un punto $P_r$ de la recta dando el valor $z = 0$ al sistema: $$\begin{cases} x + y = -5 \\ x + 2y = 0 \implies x = -2y \end{cases}$$ Sustituyendo: $-2y + y = -5 \implies -y = -5 \implies y = 5$. Si $y = 5$, entonces $x = -2(5) = -10$. 💡 **Tip:** Un punto de la recta se encuentra fijando una coordenada y resolviendo el sistema resultante. Aquí hemos elegido $z=0$ por simplicidad. $$\boxed{P_r = (-10, 5, 0)}$$

Para que la recta sea paralela o esté contenida en el plano, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (2, 1, -a)$. Calculamos el producto escalar e igualamos a cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-3, 2, 1) \cdot (2, 1, -a) = 0$$ $$-3(2) + 2(1) + 1(-a) = 0$$ $$-6 + 2 - a = 0 \implies -4 - a = 0 \implies a = -4$$ Esto significa que si **$a = -4$**, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para que esté **contenida**, el punto $P_r(-10, 5, 0)$ debe pertenecer al plano $\pi$. Sustituimos en la ecuación $2x + y - (-4)z = 3$: $$2(-10) + 5 + 4(0) = -20 + 5 = -15$$ Como $-15 \neq 3$, el punto no pertenece al plano. ✅ **Resultado 1:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a \text{ para el cual la recta esté contenida en el plano.}}$$

**2) ¿Para qué valor de $a$ la recta y el plano son paralelos?** Como hemos visto en el paso anterior, la condición para que la recta y el plano no se corten es que $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, lo que ocurre cuando **$a = -4$**. Al haber comprobado ya que para ese valor el punto $P_r$ no pertenece al plano, podemos afirmar que la recta y el plano son estrictamente paralelos. 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director y el normal es cero, pero el punto de la recta no satisface la ecuación del plano, la posición es de paralelismo. ✅ **Resultado 2:** $$\boxed{a = -4}$$

**3) ¿Para qué valores de $a$ se cortan la recta y el plano? En caso de que se corten, halla el punto de corte para $a = 0$.** La recta y el plano se cortan en un único punto cuando no son paralelos, es decir, cuando el producto escalar de sus vectores característicos es distinto de cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0 \implies -4 - a \neq 0 \implies a \neq -4$$ Para hallar el punto de corte con **$a = 0$**, utilizamos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$\begin{cases} x = -10 - 3\lambda \\ y = 5 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$ con $a = 0$ ($2x + y = 3$): $$2(-10 - 3\lambda) + (5 + 2\lambda) = 3$$ $$-20 - 6\lambda + 5 + 2\lambda = 3$$ $$-15 - 4\lambda = 3 \implies -4\lambda = 18 \implies \lambda = -\frac{18}{4} = -4,5$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las paramétricas para obtener las coordenadas del punto: $x = -10 - 3(-4,5) = -10 + 13,5 = 3,5$ $y = 5 + 2(-4,5) = 5 - 9 = -4$ $z = -4,5$ ✅ **Resultado 3:** $$\boxed{\text{Se cortan si } a \neq -4. \text{ Para } a=0, \text{ el punto es } (3.5, -4, -4.5)}$$