Análisis de una función logarítmica: Derivada, Integral y Área

**1) [0,75 PUNTOS] Calcule la derivada de $f(x)$.** La función $f(x) = x \ln(x)$ es un producto de dos funciones: $u(x) = x$ y $v(x) = \ln(x)$. Aplicamos la regla de la derivada del producto: $$f'(x) = (x)' \cdot \ln(x) + x \cdot (\ln(x))'$$ Sabiendo que $(x)' = 1$ y que $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$, sustituimos: $$f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}$$ Simplificamos el segundo término: $$f'(x) = \ln(x) + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso, al simplificar $x \cdot \frac{1}{x}$ obtenemos 1 para todo $x > 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \ln(x) + 1}$$

**2) [0,75 PUNTOS] Calcule una primitiva de $f(x)$.** Para calcular una primitiva $F(x) = \int x \ln(x) \, dx$, utilizamos el método de **integración por partes**: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos las partes siguiendo la regla mnemotécnica ALPES (Logarítmicas antes que Polinómicas): - $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} \, dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \frac{x^2}{2}$ Sustituimos en la fórmula: $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ Simplificamos la integral restante: $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C$$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$ Como nos piden "una" primitiva, podemos tomar $C = 0$. 💡 **Tip:** La elección de $u$ como el logaritmo suele ser la mejor estrategia en integración por partes, ya que su derivada es una función racional más sencilla de manejar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4}}$$

**3) [1 PUNTOS] Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = 2$.** Primero, analizamos el signo de la función $f(x) = x \ln(x)$ en el intervalo $[1, 2]$ para saber si el área queda por encima o por debajo del eje OX: - Para $x \in [1, 2]$, el factor $x$ es positivo. - Para $x \in [1, 2]$, $\ln(x) \ge 0$ (ya que $\ln(1) = 0$ y la función crece). Como $f(x) \ge 0$ en el intervalo $[1, 2]$, el área viene dada directamente por la integral definida: $$A = \int_{1}^{2} x \ln(x) \, dx$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** utilizando la primitiva hallada en el apartado anterior: $$A = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 2$: $F(2) = \frac{2^2}{2} \ln(2) - \frac{2^2}{4} = 2 \ln(2) - 1$ - Para $x = 1$: $F(1) = \frac{1^2}{2} \ln(1) - \frac{1^2}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$ Calculamos la diferencia: $$A = F(2) - F(1) = (2 \ln(2) - 1) - \left( -\frac{1}{4} \right) = 2 \ln(2) - 1 + \frac{1}{4}$$ $$A = 2 \ln(2) - \frac{3}{4} \approx 0,6363 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si la función hubiera sido negativa, habríamos tomado el valor absoluto de la integral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 2 \ln(2) - \frac{3}{4} \text{ unidades}^2}$$