Sistema de ecuaciones: Notas de examen

En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $a$: Nota obtenida por Antonio. - $m$: Nota obtenida por María. - $p$: Nota obtenida por Paula. A partir del enunciado, traducimos las frases a ecuaciones algebraicas: 1. "Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la nota de María": $$a = \frac{p}{2} + \frac{m}{3}$$ 2. "El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula": $$2m = a + p$$ 3. "Paula saca dos puntos más que Antonio": $$p = a + 2$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con sistemas de ecuaciones, es recomendable eliminar denominadores y ordenar las incógnitas ($a, m, p$).

Multiplicamos la primera ecuación por $6$ (mínimo común múltiplo de $2$ y $3$) para eliminar denominadores y reordenamos todas las ecuaciones: 1. $6a = 3p + 2m \implies 6a - 2m - 3p = 0$ 2. $-a + 2m - p = 0$ 3. $-a + p = 2$ El sistema de ecuaciones lineales es: $$\begin{cases} 6a - 2m - 3p = 0 \\ -a + 2m - p = 0 \\ -a + p = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Escribir el sistema en su forma estándar $Ax = B$ facilita el análisis mediante el Teorema de Rouché-Frobenius.

Para razonar si el enunciado es posible, debemos comprobar si el sistema tiene solución. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -3 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $|A|$ por la regla de Sarrus o desarrollando por la tercera fila (que tiene un cero): $$|A| = (-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = -1 \cdot (2 - (-6)) + 1 \cdot (12 - 2)$$ $$|A| = -1 \cdot (8) + 10 = -8 + 10 = 2$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas también es $3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado** (tiene una única solución). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El enunciado es posible ya que el sistema tiene una solución única.}}$$

Utilizaremos el método de sustitución aprovechando la sencillez de las ecuaciones: De la ecuación (3), tenemos que $p = a + 2$. Sustituimos $p$ en la ecuación (2): $$-a + 2m - (a + 2) = 0 \implies -2a + 2m - 2 = 0 \implies -a + m - 1 = 0 \implies m = a + 1$$ Ahora sustituimos $p = a + 2$ y $m = a + 1$ en la ecuación (1): $$6a - 2(a + 1) - 3(a + 2) = 0$$ $$6a - 2a - 2 - 3a - 6 = 0$$ $$a - 8 = 0 \implies \mathbf{a = 8}$$ Calculamos el resto de notas: $$m = 8 + 1 = \mathbf{9}$$ $$p = 8 + 2 = \mathbf{10}$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene verificar que las soluciones tienen sentido en el contexto (notas entre 0 y 10).

Las notas obtenidas por los estudiantes son coherentes y numéricamente posibles. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Antonio: 8 puntos, María: 9 puntos, Paula: 10 puntos}}$$