Probabilidad y Estadística 2024 Asturias
Distribución normal y campaña de concienciación de residuos
Para resolver este problema de estadística, utilizaremos las propiedades de la Distribución Normal.
Sea $X$ la variable aleatoria que representa la cantidad de basura generada por un habitante en dos meses. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 85 ext{ Kg}$ y desviación típica $\sigma = 15 ext{ Kg}$. Es decir, $X \sim N(85, 15)$.
(a) ¿Qué porcentaje de población genera más de $90 ext{ Kg}$ cada dos meses?
(b) Si se toma una muestra de $10000$ habitantes, ¿cuántos generan menos de $90 ext{ Kg}$ de basura?
(c) Nueva media tras la campaña de concienciación. Se nos da un nuevo dato experimental: de $10000$ personas, $5596$ generan menos de $70 ext{ Kg}$. Suponiendo que la desviación típica se mantiene ($\sigma = 15$), calcula la nueva media e indica si ha funcionado la campaña.
Paso 1
Tipificación de la variable para el apartado (a)
**(a) ¿Qué porcentaje de población genera más de $90 \text{ Kg}$ cada dos meses?**
En primer lugar, definimos nuestra variable $X$ como la cantidad de basura generada, donde $X \sim N(85, 15)$. Queremos calcular $P(X \gt 90)$.
Para poder utilizar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, debemos realizar el proceso de **tipificación** utilizando la fórmula:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$z = \frac{90 - 85}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0,33$$
💡 **Tip:** Tipificar consiste en transformar cualquier variable normal en una normal con media 0 y varianza 1 para poder consultar las tablas de probabilidad.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad acumulada
Ahora que tenemos el valor de $Z$, planteamos la probabilidad:
$$P(X \gt 90) = P(Z \gt 0,33)$$
Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos el suceso complementario:
$$P(Z \gt 0,33) = 1 - P(Z \le 0,33)$$
Buscamos en la tabla el valor para $Z = 0,33$ (fila 0,3 y columna 0,03):
$$P(Z \le 0,33) \approx 0,6293$$
Realizamos la resta:
$$P(X \gt 90) = 1 - 0,6293 = 0,3707$$
Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100:
$$0,3707 \cdot 100 = 37,07\%$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{37,07\% \text{ de la población}}$$
Paso 3
Cálculo de individuos en la muestra (Apartado b)
**(b) Si se toma una muestra de $10000$ habitantes, ¿cuántos generan menos de $90 \text{ Kg}$ de basura?**
Calculamos primero la probabilidad de que un habitante elegido al azar genere menos de $90 \text{ Kg}$, es decir, $P(X \lt 90)$.
Como ya hemos tipificado anteriormente, sabemos que el valor de $Z$ para $X=90$ es $0,33$:
$$P(X \lt 90) = P(Z \lt 0,33) = 0,6293$$
Para hallar el número esperado de habitantes en una muestra de $N = 10000$, multiplicamos el tamaño de la muestra por la probabilidad:
$$\text{Número de habitantes} = N \cdot P(X \lt 90)$$
$$\text{Número de habitantes} = 10000 \cdot 0,6293 = 6293$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{6293 \text{ habitantes}}$$
Paso 4
Planteamiento de la nueva situación (Apartado c)
**(c) Nueva media tras la campaña de concienciación.**
Se nos informa de que tras la campaña, en una muestra de $10000$ personas, $5596$ generan menos de $70 \text{ Kg}$. Esto nos da una nueva probabilidad experimental:
$$P(X_{\text{nueva}} \lt 70) = \frac{5596}{10000} = 0,5596$$
Sabemos que la desviación típica se mantiene en $\sigma = 15$, pero la media $\mu_{\text{nueva}}$ es desconocida. Tipificamos el valor $X = 70$:
$$P\left(Z \lt \frac{70 - \mu_{\text{nueva}}}{15}\right) = 0,5596$$
Ahora realizamos el proceso inverso: buscamos en el interior de la tabla de la normal el valor de probabilidad $0,5596$ para encontrar a qué valor de $Z$ corresponde.
En la tabla observamos que para $Z = 0,15$, la probabilidad es exactamente $0,5596$.
Paso 5
Resolución de la ecuación para la media
Igualamos el valor tipificado con el valor de la tabla:
$$\frac{70 - \mu_{\text{nueva}}}{15} = 0,15$$
Despejamos $\mu_{\text{nueva}}$:
$$70 - \mu_{\text{nueva}} = 15 \cdot 0,15$$
$$70 - \mu_{\text{nueva}} = 2,25$$
$$\mu_{\text{nueva}} = 70 - 2,25 = 67,75 \text{ Kg}$$
**Conclusión sobre la campaña:**
La media anterior era de $85 \text{ Kg}$ y la nueva media es de $67,75 \text{ Kg}$. Dado que la cantidad de basura producida ha disminuido, podemos afirmar que la campaña ha sido un éxito.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\mu_{\text{nueva}} = 67,75 \text{ Kg}; \text{ la campaña ha funcionado.}}$$