Probabilidad y Estadística 2024 Asturias
Probabilidad: Modalidades de Bachillerato y asignaturas optativas
Para resolver este problema, definiremos primero los sucesos basándonos en el enunciado:
* $C$: El estudiante cursa el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología.
* $\bar{C}$: El estudiante **no** cursa el Bachillerato de Ciencias y Tecnología (cursará otra modalidad).
* $I$: El estudiante cursa la asignatura optativa "Proyecto de Investigación Integrado".
* $\bar{I}$: El estudiante **no** cursa la asignatura optativa "Proyecto de Investigación Integrado".
A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:
* $P(C) = 0.55$ $\Rightarrow$ $P(\bar{C}) = 1 - 0.55 = 0.45$
* $P(I | C) = 0.30$ $\Rightarrow$ $P(\bar{I} | C) = 1 - 0.30 = 0.70$
* $P(I | \bar{C}) = 0.40$ $\Rightarrow$ $P(\bar{I} | \bar{C}) = 1 - 0.40 = 0.60$
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### (a) ¿Cuál es la probabilidad de que curse la asignatura 'Proyecto de Investigación Integrado'?
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### (b) Si un estudiante no cursa la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología?
Paso 1
Organizar los datos en un árbol de probabilidad
**(a) ¿Cuál es la probabilidad de que curse la asignatura 'Proyecto de Investigación Integrado'?**
Primero, representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para visualizar todos los posibles caminos y sus probabilidades asociadas.
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que un estudiante curse la asignatura ($P(I)$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de las intersecciones donde ocurre el suceso $I$:
$$P(I) = P(C) \cdot P(I | C) + P(\bar{C}) \cdot P(I | \bar{C})$$
Sustituimos los valores obtenidos en el árbol:
$$P(I) = (0.55 \cdot 0.30) + (0.45 \cdot 0.40)$$
$$P(I) = 0.165 + 0.18 = 0.345$$
✅ **Resultado (a):**
$$\boxed{P(I) = 0.345}$$
(La probabilidad es del **$34.5\%$**).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad del suceso complementario
**(b) Si un estudiante no cursa la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología?**
Primero, calculamos la probabilidad de que un estudiante **no** curse la asignatura ($P(\bar{I})$). Como es el suceso contrario a $I$, tenemos:
$$P(\bar{I}) = 1 - P(I) = 1 - 0.345 = 0.655$$
💡 **Tip:** Es más sencillo calcular el complementario que volver a aplicar el Teorema de la Probabilidad Total sumando las ramas de $\bar{I}$ ($0.385 + 0.270 = 0.655$).
$$\boxed{P(\bar{I}) = 0.655}$$
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes
Se nos pide la probabilidad condicionada de que esté en Ciencias sabiendo que no cursa la asignatura, es decir, $P(C | \bar{I})$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C | \bar{I}) = \frac{P(C \cap \bar{I})}{P(\bar{I})}$$
Ya conocemos el denominador ($0.655$). Calculamos el numerador (la probabilidad de que sea de Ciencias y no curse la optativa):
$$P(C \cap \bar{I}) = P(C) \cdot P(\bar{I} | C) = 0.55 \cdot 0.70 = 0.385$$
Finalmente, calculamos el cociente:
$$P(C | \bar{I}) = \frac{0.385}{0.655} \approx 0.5878$$
✅ **Resultado (b):**
$$\boxed{P(C | \bar{I}) \approx 0.5878}$$
(La probabilidad es aproximadamente del **$58.78\%$**).