Geometría en el espacio: puntos coplanarios, recta y plano

**(a) (0.75 puntos) Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.** Para que cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ pertenezcan al mismo plano, los vectores formados por ellos deben ser linealmente dependientes. Es decir, el determinante formado por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ debe ser igual a cero. Calculamos primero los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1-1, 0-1, 2-1) = (0, -1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1-1, 1-1, 3-1) = (-2, 0, 2)$$ $$\vec{AD} = D - A = (-1-1, 0-1, 1-1) = (-2, -1, 0)$$ Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\text{Det} = [0 \cdot 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) \cdot (-1)] - [1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-2) \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot (-1)]$$ $$\text{Det} = [0 + 4 + 2] - [0 + 0 + 0] = 6$$ Como el determinante es **distinto de cero** ($6 \neq 0$), los vectores son linealmente independientes. Esto significa que los puntos no son coplanarios. 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los puntos están en el mismo plano; si es distinto de cero, forman un tetraedro de volumen $V = \frac{1}{6} |\text{Det}|$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún plano que contenga a los cuatro puntos.}}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcula la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$.** Para obtener la ecuación de la recta $r$, necesitamos un punto (ya tenemos $D = (-1, 0, 1)$) y un vector director. Como $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{d_r}$ será el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. El vector normal al plano que pasa por $A, B$ y $C$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{n_\pi} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(-2 - 0) - \vec{j}(0 - (-2)) + \vec{k}(0 - 2) = (-2, -2, -2)$$ Para simplificar la ecuación de la recta, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{d_r} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** En geometría, siempre que obtengas un vector director o normal, puedes simplificarlo dividiendo todas sus componentes por un mismo número para facilitar los cálculos posteriores.

Utilizamos el punto $D(-1, 0, 1)$ y el vector director $\vec{d_r} = (1, 1, 1)$ para escribir las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: (x, y, z) = (-1, 0, 1) + \lambda(1, 1, 1)}$$

**(c) (1 punto) Calcula el punto $P$ intersección de $r$ y $\pi$ del apartado anterior.** Primero necesitamos la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $A(1, 1, 1)$ y tiene como vector normal $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$ (usamos el simplificado). La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Con el vector normal $(1, 1, 1)$, tenemos: $$1x + 1y + 1z + D = 0 \implies x + y + z + D = 0$$ Sustituimos el punto $A(1, 1, 1)$ para hallar $D$: $$1 + 1 + 1 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi: x + y + z - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** También puedes usar la forma punto-normal directamente: $n_1(x-a_1) + n_2(y-a_2) + n_3(z-a_3) = 0$.

Para hallar el punto de intersección $P$, sustituimos las expresiones de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$(-1 + \lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 3 = 0$$ $$-1 + \lambda + \lambda + 1 + \lambda - 3 = 0$$ $$3\lambda - 3 = 0 \implies 3\lambda = 3 \implies \lambda = 1$$ Ahora sustituimos el valor $\lambda = 1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $P$: $$x = -1 + 1 = 0$$ $$y = 1$$ $$z = 1 + 1 = 2$$ El punto de intersección es $P(0, 1, 2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = (0, 1, 2)}$$