Simetría de puntos y Rectas Perpendiculares a Planos

**(a) [1.25 puntos] Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.** Si dos puntos $A$ y $B$ son simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano es el **plano mediador** del segmento $AB$. Esto implica dos condiciones geométricas fundamentales: 1. El vector $\vec{AB}$ es perpendicular al plano $\pi$, por lo que servirá como vector normal $\vec{n}_\pi$. 2. El punto medio del segmento $AB$, al que llamaremos $M$, debe pertenecer al plano $\pi$. Calculamos primero el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 1 - (-1), 3 - 1) = (2, 2, 2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal del plano: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector paralelo al vector normal sirve para definir la orientación del plano. Dividir por 2 facilita las operaciones posteriores.

Calculamos ahora el punto medio $M$ del segmento $AB$, que es el punto por donde debe pasar el plano: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = (1, 0, 2)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}_\pi = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos nuestro vector $(1, 1, 1)$: $$1x + 1y + 1z + D = 0 \implies x + y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $M(1, 0, 2)$ pertenezca al plano: $$1 + 0 + 2 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x + y + z - 3 = 0}$$

**(b) [1.25 puntos] Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ perpendicular al plano $\pi' \equiv x + y + z = 3$ y que contiene al punto $Q = (1, 0, 1)$.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi'$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi'}$. Dada la ecuación del plano $\pi' \equiv x + y + z - 3 = 0$, extraemos su vector normal a partir de los coeficientes de $x, y, z$: $$\vec{n}_{\pi'} = (1, 1, 1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_r = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es directamente $(A,B,C)$.

Conocemos un punto de la recta $Q(x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 1)$ y su vector director $\vec{v}_r(v_1, v_2, v_3) = (1, 1, 1)$. La ecuación continua de una recta tiene la forma: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo los valores correspondientes: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 1}{1}$$ Simplificando la expresión (aunque la forma continua suele mantener los denominadores para mostrar el vector): $$\boxed{\frac{x - 1}{1} = y = \frac{z - 1}{1}}$$ 💡 **Tip:** Si alguna componente del vector director fuera cero, no podríamos escribir la ecuación continua de forma estándar y tendríamos que igualar ese término a la coordenada del punto.