Primitiva y cálculo de área de una función trigonométrica

**a) Calcula una primitiva que pase por el punto $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$.** Para hallar la primitiva, primero calculamos la integral indefinida de la función $f(x) = \text{sen}(\pi - 2x)$. Planteamos la integral: $$F(x) = \int \text{sen}(\pi - 2x) \, dx$$ Realizamos un cambio de variable para simplificar la expresión: - Sea $u = \pi - 2x$ - Entonces $du = -2 \, dx \Rightarrow dx = -\frac{du}{2}$ Sustituimos en la integral: $$F(x) = \int \text{sen}(u) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int \text{sen}(u) \, du$$ $$F(x) = -\frac{1}{2} \cdot (-\cos(u)) + C = \frac{1}{2} \cos(u) + C$$ Deshaciendo el cambio: $$F(x) = \frac{1}{2} \cos(\pi - 2x) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva de $\text{sen}(ax+b)$ es $-\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C$. Aquí $a=-2$, por lo que el factor es $-\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

Imponemos la condición de que la primitiva pase por el punto $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, lo que significa que $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$: $$\frac{1}{2} \cos\left(\pi - 2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C = 1$$ $$\frac{1}{2} \cos(\pi - \pi) + C = 1$$ $$\frac{1}{2} \cos(0) + C = 1$$ Como $\cos(0) = 1$: $$\frac{1}{2}(1) + C = 1 \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{C = \frac{1}{2}}$$

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión general de la primitiva: $$F(x) = \frac{1}{2} \cos(\pi - 2x) + \frac{1}{2}$$ Podemos simplificar la expresión utilizando la identidad $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$: $$F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2} \cos(\pi - 2x) + \frac{1}{2}}$$

**b) Calcula el área limitada por $f$, el eje $X$ y las rectas $x = -\frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{\pi}{4}$.** Primero, simplificamos la función usando la identidad $\text{sen}(\pi - \alpha) = \text{sen}(\alpha)$: $$f(x) = \text{sen}(2x)$$ Buscamos los puntos de corte con el eje $X$ ($f(x) = 0$) en el intervalo $[-\pi/4, \pi/4]$: $$\text{sen}(2x) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$$ El punto $x=0$ divide el intervalo en dos partes. Estudiamos el signo de la función: 1. En $[-\pi/4, 0]$, elegimos $x = -\pi/8$: $f(-\pi/8) = \text{sen}(-\pi/4) < 0$ (Área por debajo del eje). 2. En $[0, \pi/4]$, elegimos $x = \pi/8$: $f(\pi/8) = \text{sen}(\pi/4) > 0$ (Área por encima del eje). Dado que $\text{sen}(2x)$ es una función impar ($f(-x) = -f(x)$), el área es simétrica respecto al origen: $$\text{Área} = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |f(x)| \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/4} \text{sen}(2x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que calcules áreas, asegúrate de estudiar los cortes con el eje X para separar las integrales donde la función cambie de signo.

Calculamos la integral definida en el intervalo positivo y multiplicamos por 2 debido a la simetría: $$\text{Área} = 2 \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{0}^{\pi/4} = - \left[ \cos(2x) \right]_{0}^{\pi/4}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\text{Área} = - \left( \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \cos(2 \cdot 0) \right)$$ $$\text{Área} = - (\cos(\pi/2) - \cos(0))$$ $$\text{Área} = - (0 - 1) = 1$$ 💡 **Tip (Regla de Barrow):** $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\sin(\\pi - 2x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "a", "latex": "x=-\\pi/4", "lineStyle": "DASHED", "color": "#ef4444" }, { "id": "b", "latex": "x=\\pi/4", "lineStyle": "DASHED", "color": "#ef4444" }, { "id": "area1", "latex": "f(x) \\le y \\le 0 \\{-\\pi/4 \\le x \\le 0\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "area2", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{0 \\le x \\le \\pi/4\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1.5, "right": 1.5, "bottom": -1.5, "top": 1.5 } } }